Integral relacionada con la difusión de partículas

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Integral relacionada con la difusión de partículas

Física
difusión
Estadísticas
dinámica de fluidos
Teoría cinética
movimiento browniano

seb

En el contexto de la difusión de partículas, intento comprender las ecuaciones que describen el movimiento browniano como un proceso macroscópico.

Asumir $N(x,t)$ es una concentración numérica y $D$ es una constante de difusión, entonces podemos escribir:

\frac{\partial norte (X, t)}{\partial t} = D \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} norte (X, t)

$\frac{\partial N(x,t)}{\partial t} = D \frac{\partial^2}{\partial x^2} N(x,t)$

a continuación, podemos multiplicar por el desplazamiento cuadrático medio $x^2$ e integrar sobre $x$ de $-\infty$ a $\infty$ :

\int X^{2} \frac{\partial norte (X, t)}{\partial t} d X = \int X^{2} D \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} norte (X, t) d X

$\int x^2 \frac{\partial N(x,t)}{\partial t} dx = \int x^2 D \frac{\partial^2}{\partial x^2} N(x,t) dx$

Ahora, el script que estoy leyendo escribe que el lado izquierdo se puede escribir como:

\int X^{2} \frac{\partial norte (X, t)}{\partial t} d X = {norte}_{0} \frac{\partial ⟨ X^{2} ⟩}{\partial t}

$\int x^2 \frac{\partial N(x,t)}{\partial t} dx = N_0 \frac{\partial \langle x^2 \rangle}{\partial t}$

donde supongo que $N_0$ es el número inicial de concentración de partículas y $\langle \rangle$ es el desplazamiento cuadrático medio.

No entiendo la última ecuación. ¿Alguien podría explicar por qué puedo expresar la integral como la derivada parcial respecto al tiempo del desplazamiento cuadrático medio (multiplicado por $N_0$ ).

EDITAR: $\langle x^2 \rangle$ es el desplazamiento cuadrático medio (al contrario de lo que he escrito antes)

seb

Encontré un enfoque alternativo al problema, que se proporciona en la entrada de Wikipedia sobre el desplazamiento cuadrático medio . Si bien no explica el enfoque mencionado en mi pregunta anterior, muestra una forma alternativa de llegar al resultado final del cálculo, que es

⟨ x^{2} ⟩ = 2 D t

$\langle x^2 \rangle = 2 D t$ .

Miguel

Saca la derivada de la integral. Puedes hacerlo si nada más además

N (x, t)

$N(x,t)$ en el integrando depende de

t

$t$ . Entonces el dominio de integración tiene que ser constante en el tiempo. Suponiendo que lo sea, puedes sacar la derivada y simplemente usar la definición de

⟨ x^{2} ⟩

$\langle x^2 \rangle$ . Y es una derivada total en el lado derecho:

⟨ x^{2} ⟩

$\langle x^2 \rangle$ solo depende de

t

$t$ .

seb

@MichaelBrown, así que esta es básicamente la respuesta que estaba buscando. Me perdí totalmente lo que has señalado. Si pusiera eso en una respuesta, lo marcaría como la respuesta aceptada.

Respuestas (1)

Integral relacionada con la difusión de partículas

Encontré un enfoque alternativo al problema, que se proporciona en la entrada de Wikipedia sobre el desplazamiento cuadrático medio . Si bien no explica el enfoque mencionado en mi pregunta anterior, muestra una forma alternativa de llegar al resultado final del cálculo, que es $\langle x^2 \rangle = 2 D t$ .
Saca la derivada de la integral. Puedes hacerlo si nada más además $N(x,t)$ en el integrando depende de $t$ . Entonces el dominio de integración tiene que ser constante en el tiempo. Suponiendo que lo sea, puedes sacar la derivada y simplemente usar la definición de $\langle x^2 \rangle$ . Y es una derivada total en el lado derecho: $\langle x^2 \rangle$ solo depende de $t$ .
@MichaelBrown, así que esta es básicamente la respuesta que estaba buscando. Me perdí totalmente lo que has señalado. Si pusiera eso en una respuesta, lo marcaría como la respuesta aceptada.

Miguel · Answer 1

Dado que el comentario respondió a su pregunta, seguiré adelante y estableceré una versión más generalizada. Es sencillo simplificar las cosas de nuevo a su caso. Considere la siguiente ecuación de continuidad:

\dot{norte} (X, t) = - \nabla \cdot \vec{Γ} (X, t) + S (X, t),

$\dot{N}(x,t) = -\nabla\cdot\vec{\Gamma}(x,t) + S(x,t),$

dónde $\vec{\Gamma}(x,t)$ es el flujo (en su caso $\vec{\Gamma}(x,t)= -D\nabla N(x,t)$ , puede extender esto fácilmente) y $S(x,t)$ es un término fuente que representa la creación/destrucción neta de partículas (en su caso $S=0$ ). multiplicando por $x^n$ e integrando:

\int d X X^{norte} \dot{norte} (X, t) = - \int d X X^{norte} \nabla \cdot \vec{Γ} (X, t) + \int d X X^{norte} S (X, t) .

$\int \mathrm{d}x\ x^n\dot{N}(x,t) = -\int \mathrm{d}x\ x^n\nabla\cdot\vec{\Gamma}(x,t) + \int \mathrm{d}x\ x^nS(x,t).$

Si el dominio de integración es constante:

\int d X X^{norte} \dot{norte} (X, t) = \frac{d}{d t} (norte (t) ⟨ X^{norte} ⟩),

$\int \mathrm{d}x\ x^n\dot{N}(x,t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (N(t)\langle x^n \rangle),$

dónde $N(t)$ es el número total de partículas en el dominio de integración. Tomando el dominio de integración como todo espacio encontramos:

\begin{array}{lrcl} norte = 0 : & \frac{d}{d t} norte (t) & = & S (t), \\ norte = 1 : & \frac{d}{d t} (norte (t) ⟨ X ⟩) & = & - \int d X X \nabla \cdot \vec{Γ} (X, t) + \int d X X S (X, t) = \int d X X S (X, t), \end{array}

$\begin{array}{lrcl} n=0: & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} N(t) &=& S(t), \\ n=1: & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (N(t)\langle x \rangle) &=& -\int \mathrm{d}x\ x\nabla\cdot\vec{\Gamma}(x,t) + \int \mathrm{d}x\ x S(x,t) = \int \mathrm{d}x\ x S(x,t), \end{array}$

etc. La primera ecuación da la conservación de las partículas. El segundo se puede reorganizar usando el primero para dar

\frac{d ⟨ X ⟩}{d t} = \frac{1}{norte (t)} (\int d X X S (X, t) - S (t) ⟨ X ⟩) = ⟨ \frac{X S (X, t)}{norte (X, t)} ⟩ - \frac{S (t) ⟨ X ⟩}{norte (t)},

$\frac{\mathrm{d}\langle x \rangle }{\mathrm{d}t} = \frac{1}{N(t)} \left(\int \mathrm{d}x\ x S(x,t) - S(t) \langle x \rangle \right) = \langle\frac{x S(x,t)}{N(x,t)}\rangle - \frac{S(t) \langle x \rangle }{N(t)},$

que es el centro de la velocidad de masa, que no es cero, ni siquiera se conserva en general, si hay una fuente.

Puede ver que obtiene una torre de ecuaciones de momento, esencialmente convirtiendo una ecuación diferencial parcial en una secuencia de ecuaciones diferenciales ordinarias. En su caso, esto realmente no le aporta nada, pero en situaciones más complicadas (donde tiene que usar, por ejemplo, la ecuación de Boltzmann), esta técnica es esencial para extraer información útil sobre un sistema.

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Miguel

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Miguel

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