Difusión a través de una interfase y conservación de la masa.

Estoy leyendo un capítulo de un libro de fisiología ( Fisiología matemática, de Keener - Capítulo sobre la respiración) sobre el intercambio de gases entre los capilares y los alvéolos. Parece que este intercambio de gases se puede modelar a partir de algunas relaciones físicas simples. Como no suelo estudiar física, no entiendo completamente algunos conceptos que el autor usa para derivar una ley de conservación y agradecería cualquier ayuda.

Sin embargo, admito que esta pregunta puede estar fuera de tema, ya que podría ser un lapsus matemático en lugar de una pregunta de física.

Preliminares

Primero, el autor indica que si un gas con presión parcial$P_g$está en contacto con un líquido, la concentración en estado estacionario$U$de gas viene dada por:

$$U = \sigma P_s$$

dónde$\sigma$es la solubilidad del gas en el líquido. Supongo que esta es una versión particular de la Ley de Henry.

Luego, explica si hay diferencia entre la presión parcial del gas ($P_g$) y la presión parcial sobre el fluido ($\frac{U}{\sigma}$), entonces debería haber algún flujo entre el gas y el fluido y el modelo más simple sería asumir que este flujo es linealmente proporcional a la diferencia de presión:

$$q = D_s \left(P_g - \frac{U}{\sigma}\right)$$

Problema

Luego, el autor considera un segmento de un capilar (un tubo cilíndrico) de longitud$L$, área transversal constante$A$y perímetro$p$, que está en contacto con un gas con presión parcial$P_g$. El fluido se mueve a través del tubo con una velocidad$v(x)$. Finalmente, dicen que como la masa se conserva:

$$\frac{d}{dt} \left( A \int_{0}^{L} U(x,t) dt \right) = v(0)AU(0,t) - v(L)AU(L,t) + p \int_{0}^{L} q(x,t) dx$$

Pregunta

¿Cómo se deriva la siguiente relación?

Entiendo que$A \int_{0}^{L} U(x,t) dt$es de hecho la cantidad total de gas disuelto en el tubo en un momento dado. yo tambien entiendo como$\int_{0}^{L} q(x,t) dx$representa el flujo total de gas a través de toda la pared del capilar. Sin embargo, no veo qué representan los dos primeros elementos de la mano derecha y por qué se deriva el lado izquierdo con respecto a$t$.