Demuestre que la diferenciabilidad en un punto implica diferenciabilidad simétrica en un punto.

Definición Let C ∈ ( a , b ) y deja F : ( a , b ) → R . Entonces F es simétricamente diferenciable en C si

límite h → 0 F ( C + h ) − F ( C − h ) 2 h
existe y es finito.

Problema Demuestre que si F es diferenciable en C , entonces F es simétricamente diferenciable en C , y las derivadas son las mismas.

No estoy completamente seguro de por dónde empezar. Queremos mostrar que, dado F ′ ( C ) existe,

límite h → 0 F ( C + h ) − F ( C − h ) 2 h = F ′ ( C ) = límite h → 0 F ( C + h ) − F ( C ) h
pero no estoy seguro de cómo hacerlo. ¿Alguien puede proporcionar una asistencia mínima? Esto parece un problema tan simple, pero estoy atascado, no obstante. Gracias de antemano por cualquier respuesta.

Haz un cambio de variable y observa que h → 0 si y solo si 2 h → 0 .

Respuestas (1)

Pista:

límite h → 0 F ( C + h ) − F ( C − h ) 2 h = límite h → 0 F ( C + h ) − F ( C ) + F ( C ) − F ( C − h ) 2 h = límite h → 0 [ F ( C + h ) − F ( C ) ] − [ F ( C − h ) − F ( C ) ] 2 h = 1 2 límite h → 0 [ F ( C + h ) − F ( C ) h − F ( C − h ) − F ( C ) h ]
y hacer un cambio de variable ( − h ) ↦ h en el segundo límite (quiero decir, en la segunda fracción).

Demuestre que la diferenciabilidad en un punto implica diferenciabilidad simétrica en un punto.
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