¿Cómo fue la forma cerrada de ∑nj=i+1(n−i−j+2)∑j=i+1n(n−i−j+2)\sum_{j=i+1}^{n}( ni-j+2) calculado?

Estoy luchando por entender el cálculo de forma cerrada de la siguiente suma triple:

∑ i = 1 norte ∑ j = i + 1 norte ∑ k = i + j − 1 norte 1

El primer paso que entiendo:

∑ i = 1 norte ∑ j = i + 1 norte ∑ k = i + j − 1 norte 1 = ∑ i = 1 norte ∑ j = i + 1 norte ( − i − j + norte + 2 )

Pero los siguientes pasos son los que me confunden.

= ∑ i = 1 norte ∑ j = i + 1 norte ( − i − j + norte + 2 ) = ∑ i = 1 norte ( 1 2 ( i − norte ) ( 3 i − norte − 3 ) )

= 1 2 ( norte − 1 ) norte

Me gustaría saber, en detalle insoportable, cómo

∑ j = i + 1 norte ( − i − j + norte + 2 ) = 1 2 ( i − norte ) ( 3 i − norte − 3 )

El primer paso no es cierto, sin embargo, cuando i + j − 1 > norte . por ejemplo, cuando i = norte y j = norte , estas diciendo eso ∑ k = 2 norte − 1 norte 1 = 3 − norte . Sin embargo, esta suma debe evaluar a 0 ya que el límite superior es más pequeño que el límite inferior.
@AlanAbraham Esto puede estar fuera de su punto, pero ¿no sería así? ∑ k = 2 norte − 1 norte 1 = 2 − norte ? Además, ¿cómo podría i = j = norte , j debe ser i + 1 . Por último, en este caso particular, el límite inferior es mayor que el límite superior, por lo que no hay sumandos, que se define como 0 ¿de todos modos? Mi pensamiento aquí es 3 − norte no se evaluaría de todos modos, y se define simplemente como 0 .
Hubo algún descuido en mi ejemplo proporcionado. En su lugar, considere i = norte − 1 y j = norte . entonces estas diciendo eso ∑ k = 2 norte − 2 norte = 3 − norte cuando debería ser 0 . Por último, puede haber un malentendido entre nosotros, pero estoy de acuerdo en que debería definirse como 0 , pero 3 − norte no es equivalente a 0 , por lo que no lo está sumando correctamente. Probablemente necesitará redefinir los límites para excluir cualquier suma incorrecta porque no se excluirá automáticamente cuando use las identidades de suma que está usando.
@AlanAbraham gracias por su rápida respuesta, creo que ahora entiendo... ¿Conoce de antemano algún buen recurso para comprender mejor este tema en particular?
No, personalmente no conozco ningún recurso. Sin embargo, estoy seguro de que existen recursos en alguna parte.

Respuestas (2)

Dejar r = j − i , entonces j = r + i y

∑ j = i + 1 norte ( − i − j + norte + 2 ) = ∑ r = 1 norte − i ( − 2 i − r + norte + 2 ) = − ∑ r = 1 norte − i r + ( norte + 2 − 2 i ) ∑ r = 1 norte − i 1 = − ( norte − i ) ( norte − i + 1 ) 2 + ( norte + 2 − 2 i ) ( norte − i ) = ( norte − i ) ( − norte + i − 1 + 2 norte + 4 − 4 i ) 2 = ( norte − i ) ( norte + 3 − 3 i ) 2 .
que es igual a 1 2 ( i − norte ) ( 3 i − norte − 3 ) . En cuanto a la última suma, sea j = norte − i , entonces i = norte − j y
∑ i = 1 norte ( norte − i ) ( norte + 3 − 3 i ) 2 = 1 2 ∑ j = 1 norte − 1 j ( 3 j + 3 − 2 norte ) = 3 2 ∑ j = 1 norte − 1 j 2 + ( 3 − 2 norte ) 2 ∑ j = 1 norte − 1 j
¿Puedes terminar el trabajo?

De otra manera.

∑ j = i + 1 norte ( − i − j + norte + 2 ) = ∑ j = i + 1 norte ( − i + norte + 2 ) − ∑ j = i + 1 norte j = ( norte − i ) ( norte − i + 2 ) − ∑ j = 1 norte − i ( j + i ) = ( norte − i ) ( norte − i + 2 ) − ∑ j = 1 norte − i j − ∑ j = 1 norte − i i = ( norte − i ) ( norte − i + 2 ) − 1 2 ( norte − i ) ( norte − i + 1 ) − i ( norte − i ) = ( norte − i ) ( ( norte − i + 2 ) − 1 2 ( norte − i + 1 ) − i ) = ( norte − i ) 2 ( norte − i + 2 ) − ( norte − i + 1 ) − 2 i 2 = ( norte − i ) norte − 3 i + 3 2

¿Cómo fue la forma cerrada de ∑nj=i+1(n−i−j+2)∑j=i+1n(n−i−j+2)\sum_{j=i+1}^{n}( ni-j+2) calculado?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v