Demostrar que un triángulo con una base y un ángulo dados debe ser isósceles para tener un perímetro máximo

el lugar de$B$dado$AC$y el ángulo es un arco circular.

el lugar de$B$dado$AC$y el perímetro es una elipse con$A$y$C$como los focos y$B$en el borde.

Si$B$no está en el punto más lejano del círculo, entonces la elipse cruza el interior del círculo. Esto significa que hay otro triángulo.$ADC$dónde$D$está en la elipse dentro del círculo por lo que tiene el mismo perímetro que$ABC$, y hay un tercer triángulo$AEC$con$E$en el círculo, por lo que tiene el ángulo correcto, y que contiene$ADC$, por lo que es más grande y tiene un perímetro más alto, por lo que dada una$B$ese no es el punto más lejano del círculo, hay otro punto$E$eso da un triángulo con un perímetro más alto.

Pero si$B$está en el punto más alejado del círculo, entonces la elipse no atraviesa el interior del círculo, por lo que el resto de la construcción no funciona. Este punto más lejano pone$B$equidistante de$A$y$C$, entonces es un triángulo isósceles.

Que el triangulo tenga lado$a,b,c$y sea el ángulo opuesto a él$A,B,C$entonces por la ley de los senos, el perímetro se da como:

$$p = \kappa( \sin A + \sin B + \sin C)$$

También se nos da que el$\kappa$está arreglado desde$\frac{b}{\sin B} = \kappa$, por am gm:

$$\frac{\sin A + \sin C}{2} \geq \sqrt{\sin A \sin C} = \sqrt{ \frac{\cos(A-C)-\cos(A+C) }{2}} = \sqrt{\frac{\cos(A-C)+ \cos(B)}{2}}$$

Ahora$\cos(A-C)$se maximiza cuando$A=C$, volviendo a aplicar la ley del seno, encontramos el QED requerido

Nota:$b$es el lado fijo y$B$es el ángulo fijo.

Sabemos$b$y$B$, y tiene

$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=\frac{1-\cos B}{2}(a+c)^2+\frac{1+\cos B}{2}(a-c)^2$$ por la regla del coseno. Desde$0<B<\pi$, tenemos$-1<\cos B<1$, y en particular $$\frac{1-\cos B}{2},\frac{1+\cos B}{2}>0.$$ queremos maximizar$a+b+c$; desde$b$se sabe y todo es positivo, esto es lo mismo que maximizar$\frac{1-\cos B}{2}(a+c)^2$, es decir, lo mismo que minimizar$b^2-\frac{1-\cos B}{2}(a+c)^2=\frac{1+\cos B}{2}(a-c)^2$, y esto claramente sucede (solo) cuando$a=c$.

Ley del coseno. Si el ángulo es$\beta$la longitud es$b,$entonces

$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos \theta\tag1$$ y el perímetro $$p=a+b+c$$

Quieres

$$0=\frac{dp}{da}=1+\frac{dc}{da}$$ o $$\frac{dc}{da}=-1$$

Diferenciando (1),

$$\begin{align}0&=2a+2c\frac{dc}{da}-2c\cos\beta-2a\frac{dc}{da}\cos \beta\\&=(a-c)\left(2-2\cos\beta\right) \end{align}$$

Entonces$a=c$es el único extremo posible del perímetro.

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Ahora saca la segunda derivada de (1):

$$\begin{align}0&=2+2\left(\frac{dc}{da}\right)^2+2c\frac{d^2c}{da^2}-4\frac{dc}{da}\cos\beta-2a\frac{d^2c}{da^2}\cos \beta \end{align}$$

Cuando$a=c$y$\frac{dc}{da}=-1,$obtenemos, al dividir por$2,$

$$\begin{align}0&=2(1+\cos\beta)+ c(-\cos \beta)\frac{d^2c}{da^2} \end{align}$$

Cuando$0<\beta<\pi,$esto significa

$$0> \frac{d^2c}{da^2}= \frac{d^2p}{da^2}$$

Entonces$p$se maximiza cuando$a=c.$

El lugar geométrico del punto B es un arco circular con extremos$A, C$; radio$R=AC/(2\sin\angle B)$y medida angular$\Phi=360°-2×\angle B$. Dentro de este arco tenemos componentes$AB$medición$\theta$y$BC$medición$\Phi-\theta$.

Entonces$AB=2R\sin[\theta/2]$y$BC=2R\sin[(\Phi-\theta)/2]$. Sumándolos y aplicando las relaciones trigonométricas de suma-producto se obtiene

$AB+BC=2R[\sin[\theta/2]+\sin[(\Phi-\theta)/2]=4R\sin[\Phi/4]\color{blue}{\cos[\Phi/4-\theta/2]}$

Entonces la función azul contiene toda la variación con la ubicación de$B$, y vemos que esto se maximiza en la unidad cuando$\theta=\Phi/2=\Phi-\theta$. Así, el punto de maximización ocurre cuando$B$divide el locus por la mitad y$AB=BC=2R\sin[\Phi/2]$.