Demostrar por inducción ∑ni=1(i−1/2)=n2/2∑i=1n(i−1/2)=n2/2 \sum^n_{i=1}(i-1/2) = n ^ 2/2

Su caso base será el caso$n=1$, que dice que

$$\sum_{i=1}^1\left(i-\frac12\right)=\frac{1^2}2\tag{1}\;;$$

ya que ambos lados de$(1)$simplificar a$\frac12$, se establece el caso base. Su hipótesis de inducción será que

$$\sum_{i=1}^m\left(i-\frac12\right)=\frac{m^2}2$$

para algunos en particular$m\ge 1$, y a partir de ella quieres mostrar que

$$\sum_{i=1}^{m+1}\left(i-\frac12\right)=\frac{(m+1)^2}2\;.\tag{2}$$

Hay un truco bastante estándar para llevar a cabo este tipo de paso de inducción: dividir la suma en el lado izquierdo de$(2)$en la parte 'vieja' - la suma de$1$a$m$— y el nuevo término, y aplique la hipótesis de inducción a la parte antigua:

$$\begin{align*} \sum_{i=1}^{m+1}\left(i-\frac12\right)&=(m+1)-\frac12+\sum_{i=1}^m\left(i-\frac12\right)\\\\ &=m-\frac12+\frac{m^2}2&&\text{by the induction hypothesis}\\\\ &=\frac{m^2+2m+1}2\\\\ &=\frac{(m+1)^2}2\;, \end{align*}$$

que es exactamente lo que queríamos. Como hemos comprobado el caso base y probado el paso de inducción, ahora podemos concluir que

$$\sum_{i=1}^n\left(i-\frac12\right)=\frac{n^2}2$$

para todos los enteros$n\ge 1$.