Demostrar ∏nk=1(1+ak)≤1+2∑nk=1ak∏k=1n(1+ak)≤1+2∑k=1nak\prod_{k=1}^n(1+a_k)\ leq1+2\sum_{k=1}^n a_k

La inducción simple funcionaría sin problema si nos dieran que$\sum a_k\le 1/2$. Lo cual es suficiente para la supuesta aplicación a infinitos productos, pero no resuelve el problema actual.

Sugerencia para el problema como se indica:

$$\log(1+t)\le t\quad(t\ge0)$$ y $$\log(1+2t)\ge t\quad(0\le t\le 1).$$

Puedes probar ambos escribiendo el logaritmo como la integral de$ds/s$. Ups , no, no puedes. Había un poco de tontería en la prueba que tenía en mente.

La primera desigualdad es clara; si$t>0$entonces

$$\log(1+t)=\int_1^{1+t}\frac{ds}s\le\int_1^{1+t}\,ds=t.$$ El segundo es un poco más sutil. La segunda derivada de $\log(1+t)$es negativo; por eso $\log(1+t)/t$es una función decreciente de $t>0$, entonces $$\frac{\log(1+2t)}{t}\ge\log(3)>1\quad(0<t\le 1).$$ El mismo argumento muestra que, de hecho, $$\log(1+(e-1)t)\ge t\quad(0\le t\le 1),$$ dando la desigualdad más aguda Winther señaló: $$\log\left(\prod(1+a_k)\right)=\sum\log(1+a_k)\le\sum a_k\le\log\left(1+(e-1)\sum a_k\right).$$

La respuesta de David C. Ullrich muestra una forma muy sencilla de hacer esto. Aquí hay una alternativa que es más complicada pero que puede permitirnos derivar una desigualdad más aguda si es necesario. Tratamos el problema como un problema de optimización de maximizar el producto$P = \prod_{k=1}^n(1+a_k)$encima$a_k\geq 0$bajo la restricción$S = \sum_{k=1}^n a_k = r$para algunos$0\leq r \leq 1$.

Ponemos el Lagrangiano

$$L = P - \lambda(r-S)$$

El punto externo satisface

$$\frac{\partial L}{\partial a_i} = \frac{P}{1+a_i} - \lambda \implies 1+a_i = \frac{P}{\lambda} \implies a_1=a_2=\ldots = \frac{r}{n}$$ Este es un máximo local y podemos descartar la posibilidad de cualquier punto máximo que se encuentre en el límite $a_i = 0$entonces el punto es un máximo global. Esto muestra que

$$\max_{\matrix{\{a_i\}_{i=1}^n\in[0,\infty)\\\sum a_k = r}}\prod_{k=1}^n(1+a_k) = \left(1+\frac{r}{n}\right)^n \leq e^r$$

entonces el problema se reduce a demostrar que$1+2r-e^r\geq 0$para$r\in[0,1]$que se sigue, por ejemplo, usando el teorema de Taylor.

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Por el mismo enfoque podemos deducir el resultado ligeramente más fuerte

$$\prod_{k=1}^n(1+a_k) \leq 1 + \frac{e^r-1}{r}\sum_{k=1}^n a_k~~~\text{when}~~~\sum_{k=1}^n a_k \leq r \leq 1$$ en particular para $r=1$cual es el problema que nos ocupa podemos reducir la constante $2$Abajo a $e-1 \simeq 1.71$.