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Primero, ¡tu idea con respecto a la interpolación de Lagrange es excelente! La idea clave es observar coeficientes particulares para facilitarle la vida.

Entonces, dejemos$a_1, \ldots a_n$ser algunos números complejos. Luego encontremos un polinomio interpolando los puntos$(a_1, 1), (a_2, 1), \ldots, (a_n, 1)$.

Por un lado, sabemos que esta es la constante$1$polinomio. Por otro lado, sabemos que es una horrible combinación lineal:

$$1 = \sum_{k=1}^n \prod_{j \neq k} \frac{x - a_j}{a_k - a_j}$$

Pero ahora comparemos el$x^{n-1}$coeficiente de ambos lados! En el lado izquierdo, obtenemos$0$. En el lado derecho, obtenemos$\sum_{k=1}^n \prod_{j \neq k} \frac{1}{a_k - a_j}$.

Del mismo modo, comparemos el$x^0$coeficientes! En el lado izquierdo obtenemos$1$, y en el lado derecho tenemos$\sum_{k=1}^n \prod_{j \neq k} \frac{-a_j}{a_k - a_j} = \sum_{k=1}^n \prod_{j \neq k} \frac{a_j}{a_j - a_k}$.

Para ver por qué ambos son ciertos, separemos los numeradores y los denominadores de nuestro polinomio:

$$1 = \sum_{k=1}^n \left ( \prod_{j \neq k} \left ( \frac{1}{a_k - a_j} \right ) \prod_{j \neq k} \left ( x - a_j \right ) \right )$$

Ahora bien, si queremos la$x^{n-1}$término, necesitamos obtener el$x^{n-1}$plazo de cada producto. Pero imagina frustrar$\prod_{j \neq k} (x - a_j)$. El coeficiente de$x^{n-1}$es$1$. Si hacemos esto para cada sumando, encontramos

$$0 x^{n-1} = \sum_{k=1}^n \prod_{j \neq k} \left ( \frac{1}{a_k - a_j} \right ) x^{n-1}$$

que da la pretensión.

De manera similar, si queremos el término constante, necesitamos obtener el término constante de cada producto. Nuevamente, si imaginamos frustrar el$\prod_{j \neq k} (x - a_j)$, encontramos que el término constante es exactamente$\prod_{j \neq k} (-a_j)$. Haciendo esto a cada término de la suma muestra

$$1 = \sum_{k=1}^n \left ( \prod_{j \neq k} \left ( \frac{1}{a_k - a_j} \right ) \prod_{j \neq k} (- a_j) \right )$$

ahora si recombinamos estos productos (y hacemos malabarismos con algunos signos menos), obtenemos el deseado

$$1 = \sum_{k=1}^n \prod_{j \neq k} \frac{a_j}{a_j - a_k}.$$

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Ahora, abordemos algunas de sus preguntas finales.

• ¿Por dónde se podría empezar con estos problemas?

¡Exactamente donde empezaste! ¡Resolver muchos ejemplos concretos, conjeturar que algo es cierto y luego tratar de probarlo! Tu idea de ver la interpolación de Lagrange fue excelente, y lo único que te faltaba era la idea de ver los polinomios, un coeficiente a la vez. Estoy seguro de que si pasaste uno o dos días más con este problema, lo habrías conseguido.

Como una respuesta un poco más productiva, necesita saber cuál es el nivel correcto de generalidad para usar al trabajar con ejemplos "concretos". Por ejemplo, probablemente sea mejor en este problema mantener el$a_i$como constantes simbólicas, en lugar de considerar el caso especial de, digamos$a_1 = a_2 = a_3 = 2$. Dicho esto, es fructífero trabajar con los casos especiales.$n = 1, 2, 3, \ldots, 5$, decir. Todo esto se puede resolver sin demasiados problemas (especialmente si usa un sistema de álgebra computacional, como mencionó que hizo), y puede brindarle información útil.

En particular, la noción de una forma normal es extremadamente útil, y cada vez que trabaje con dos objetos que sabe que son iguales, debe intentar ponerlos en algún tipo de forma normal y comparar las piezas por separado. Para este problema, eso significa expandir el polinomio de Lagrange a su forma normal$c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \ldots + c_{n-1} x^{n-1}$. Si hubieras hecho esto con algunos pequeños ejemplos, sin duda habrías visto el patrón en los coeficientes que luego se convirtió en la prueba.

• ¿Qué hace que estos sean difíciles?

De manera informal, los problemas que involucran suma y multiplicación simultáneamente son "difíciles". Este "prototeorema" se puede hacer preciso de varias maneras (ver la aritmética de Skolem y Presburger comparada con la aritmética de Robinson , por ejemplo), pero informalmente impregna muchas preguntas. Hay muchos problemas abiertos cuya dificultad radica, en cierto sentido, en tratar de ver cómo interactúan la suma y la multiplicación. Esto significa que los problemas que combinan la suma y la multiplicación son necesariamente más complicados que los problemas que solo presentan una de las dos. Estoy seguro de que esto también es exacto a su experiencia vivida.

Por supuesto, estoy seguro de que hay algunos trucos para lidiar con estas cosas, pero estoy lejos de ser un experto, por lo que no conozco ninguno. Tiendo a abordar estos de manera bastante ad hoc, ¡y también me encantaría saber acerca de un enfoque más sistemático!

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Espero que esto ayude ^_^