¿Se puede pensar en todos los grupos como las simetrías de un objeto geométrico?

Sí. a cualquier grupo$G$(y elección del grupo electrógeno$S$) puede asociar su gráfico de Cayley, que tiene un vértice para cada elemento del grupo$g$, y una arista entre los vértices correspondientes a$g$y$gs$para cada$s$en$S$. La acción izquierda de$G$sobre sí mismo corresponde a movimientos rígidos del gráfico. Esta gráfica es finita si y solo si$G$es un grupo finito.

Si conoce un poco más de topología, un corolario del teorema de Van Kampen es que todo grupo$G$es el grupo fundamental de un complejo CW bidimensional$X$, por lo que en particular el grupo$G$actos por transformaciones de cubierta en la cubierta universal$\tilde X$. Incluso resulta que cada grupo finitamente presentado$G$es el grupo fundamental de una variedad topológica de 4 dimensiones. En la misma línea, Eilenberg y Mac Lane dieron una construcción "funcional" de un objeto geométrico (típicamente enorme).$BG$, un ejemplo de lo que ellos llaman un$K(G,1)$—un espacio cuya topología está, en cierto sentido, completamente determinada por$G$, su grupo fundamental. Esto permite utilizar métodos de topología algebraica incluso en grupos finitos.

ETA: ¡La representación de grupos infinitos y discretos como transformaciones de objetos geométricos que preservan la distancia es una preocupación central de la teoría de grupos geométricos! Groups, Graphs and Trees de Meier o Office Hours With a Geometric Group Theorist de Clay y Margalit son excelentes introducciones a este campo.

Dejar$G$ser un grupo finito de orden$n>1$.

En$\Bbb R^n$con base estándar$e_1,\ldots, e_n$, construimos un objeto geométrico con grupo de simetría trivial: Sea$X=\{\frac 1ke_k|1\le k\le n\}\cup \{0\}$. Entonces$0\in X$es el único punto con distancia$\le 1$a todos los demás puntos, por lo que debe permanecer fijo por cualquier movimiento de simetría. Después,$\frac 1ke_k$es el único punto en$X$a distancia$\frac 1k$a$0$, por lo tanto también debe permanecer fijo.

Al considerar la acción sobre sí mismo por la multiplicación por la izquierda, un grupo finito$G$de orden$n$puede ser visto como un subgrupo de$\Bbb S_n$, y esto actúa sobre$\Bbb R^n$permutando coordenadas, que es una transformación lineal ortogonal, por lo tanto, "geométrica".

El punto$p=(1,2,3,\ldots, n)$se deja fijo solo por la identidad, por lo tanto, su órbita$Gp$es un objeto geométrico en el que$G$actúa libremente. Sin embargo, preferimos considerar la órbita$Y:=G(3p+X)$.

Dejar$\alpha$Sea un movimiento de simetría de$Y$. Los puntos$G\cdot 3p$se distinguen por el hecho de que tienen$n$puntos (es decir, "su" copia de$X$) en distancia$\le 1$; esto se debe a que cualquier otro punto en$G\cdot 3p$difiere en al menos dos coordenadas en al menos$3$, por lo tanto está a distancia$\ge 3\sqrt 2$y de ahí las diversas copias de$X$están suficientemente bien separados. Por lo tanto, encontramos$g\in G$con$\alpha(3p)=g(3p)$. Entonces$g^{-1}\circ \alpha$hojas$3p$fijo y también debe respetar la copia de$X$perteneciendo a$3p$, por lo tanto debe ser la identidad. Concluimos que el grupo de simetría de$Y$es isomorfo a$G$.

A menudo, la motivación para estudiar grupos viene dada por simetrías de politopos , por ejemplo, polígonos regulares, poliedros regulares y anlagogos de dimensiones superiores. Y, de hecho, todo grupo finito es el grupo de simetría de un politopo, que yo diría que es lo más geométrico posible.

• Cada grupo es el grupo de simetría de un politopo (como se construye en esta respuesta ).

• Casi todos los grupos son el grupo de simetría de un politopo transitivo de vértice (politopo de órbita).

  • Babai, László. "Grupos de simetría de politopos transitivos de vértice". Geometriae Dedicata 6.3 (1977): 331-337.
  • Friese, Erik y Frieder Ladisch. "Simetrías afines de politopos de órbita". Avances en Matemáticas 288 (2016): 386-425,9

• También recuerdo haber leído que cada grupo es el grupo de simetría de un politopo reticular, pero ahora mismo no puedo encontrar la fuente.

Para mí, una idea general aquí es mirar el teorema de Frucht de la teoría de grafos: cada grupo es el grupo de simetría de un gráfico. Los gráficos no son realmente objetos geométricos.$-$son objetos combinatorios. Sin embargo, existen herramientas para construir politopos a partir de estos gráficos que reflejan las simetrías del gráfico (p. ej., politopos propios).

Esto es especialmente evidente en el caso de grafos/politopos de vértice transitivo: los grupos que se pueden representar como grupos de simetría de grafos de vértice transitivo y como grupos de simetría de politopos de vértice transitivo son exactamente iguales.