Degeneración de los niveles de energía para una "partícula en una caja tridimensional rectangular"

No precisamente. Las energías de una partícula en una caja de longitudes laterales$L \times \alpha L \times \beta L$son

$$E = \frac{h^2}{8 m L^2} \left( n_x^2 + \frac{n_y^2}{\alpha^2} + \frac{n_z^2}{\beta^2}\right).$$ La cuestión de la degeneración es entonces realmente una cuestión de teoría de números: ¿en qué circunstancias son dos tripletas distintas$(n_x, n_y, n_z)$y$(m_x, m_y, m_z)$tal que $$n_x^2 + \frac{n_y^2}{\alpha^2} + \frac{n_z^2}{\beta^2} = m_x^2 + \frac{m_y^2}{\alpha^2} + \frac{m_z^2}{\beta^2}?$$

Este es un problema difícil y no estoy seguro de que haya una respuesta universal. Podemos señalar, sin embargo, lo siguiente:

• Si las longitudes de los lados cuadrados de la caja no son múltiplos racionales entre sí (es decir,$\alpha^2,\beta^2 \not\in \mathbb{Q}$y$\alpha^2/\beta^2 \not \in \mathbb{Q}$), entonces (creo) no puede haber soluciones distintas. La prueba es bastante sencilla para una caja 2-D, y me sorprendería si no se trasladara a 3-D, pero admito que no veo un argumento simple para ello.
• En el caso de que$\alpha = \beta = 1$, esto se reduce a la pregunta de cuántas maneras hay de escribir un número entero dado como la suma de tres cuadrados (distintos de cero). Se pueden encontrar algunas discusiones y enlaces útiles sobre este tema en Math.SE: Determinar el número de formas en que un número se puede escribir como la suma de tres cuadrados. Además, siempre tenemos garantizado al menos una triple degeneración de cualquier nivel para el cual$n_x = n_y \neq n_z$, y al menos una degeneración séxtuple de cualquier nivel para el cual los tres$n$son distintos.

Mi pregunta es si hay una fórmula disponible (en este caso para una caja tridimensional rectangular), que obviaría la necesidad de contar manualmente.

Los niveles de energía para tal caja están dados por :

$$E_{n_x,n_y,n_z} = \dfrac{h^{2}}{8m}\left(\dfrac{n_{x}^{2}}{L_x^{2}} + \dfrac{n_{y}^{2}}{L_y^{2}} + \dfrac{n_{z}^{2}}{L_z^{2}}\right)$$

dónde$n_x$,$n_y$y$n_z$son los números cuánticos.

A partir de ahí, la degeneración se puede deducir fácilmente.

Desplácese hacia abajo en el enlace para la degeneración en un cubo 3D y para$L_x \neq L_y \neq L_z$.