Teorema virial y método variacional: un ejercicio (reeditado)

Tengo un átomo de hidrógeno, sabiendo que su hamiltoniano ha sido modificado convirtiendo el potencial estándar

V 0 ( r ) = − Z r
en
V ( r ) = − gramo r 3 2
con gramo una constante positiva.

Se debe determinar un límite superior para la energía del estado fundamental.

Pensé en usar el método variacional, con una función de prueba

ψ ( ξ ) = A ⋅ mi − ξ r
A = ξ 3 π (condición de normalización). La idea de tal función de onda proviene de haber considerado V ( r ) como un potencial hidrogenado estándar con un "número atómico dependiente del espacio", Z ( r ) = gramo ⋅ r − 5 / 2 .

PRIMERA PREGUNTA: ¿Es esta una buena opción para la función de prueba? Si no, ¿por qué?

Entonces, al igual que en un átomo hidrogenado habitual,

⟨ T ⟩ = ⟨ ψ ( ξ ) | − ∇ 2 2 | ψ ( ξ ) ⟩ = ξ 2 2

Pensé en usar el teorema del virial (siendo V ( r ) esféricamente simétrica y ∝ r − 3 / 2 ) para calcular la parte ⟨ V ⟩ :

⟨ V ⟩ = − 4 3 ⟨ T ⟩
¡Pero no pude aplicarlo sin obtener algo ilógico!

Calculador ⟨ V ⟩ explícitamente encontré

⟨ V ⟩ = ⟨ ψ ( ξ ) | − gramo r − 3 / 2 | ψ ( ξ ) ⟩ = 4 π A 2 ∫ 0 ∞ r 2 mi − 2 ξ r ( − gramo r 3 / 2 ) d r =
− 4 gramo ξ 3 ∫ 0 ∞ r 1 / 2 mi − 2 ξ r d r → d r → 2 t d t r → t 2 − 8 gramo ξ 3 ∫ 0 ∞ t 2 mi − 2 ξ t 2 d t =
− 8 gramo ξ 3 1 4 ( 2 ξ ) 3 / 2 π = − π 2 gramo ξ 3 / 2

Entonces, al aplicar el método variacional, tengo que minimizar

mi ( ξ ) = ⟨ ψ ( ξ ) | H | ψ ( ξ ) ⟩ = ⟨ ψ ( ξ ) | − ∇ 2 2 − gramo r − 3 / 2 | ψ ( ξ ) ⟩ =
⟨ T ⟩ + ⟨ V ⟩ = ξ 2 2 − π 2 gramo ξ 3 / 2
calculador
d mi ( ξ ) d ξ = ξ − 3 2 π 2 gramo ξ 1 / 2 = 0 ⇒ { ξ = 0 ξ = 9 π 8 gramo 2 = ξ ¯
La única solución aceptable es la positiva, ξ ¯ , de modo que un límite superior para la energía del estado fundamental es
mi ( ξ ¯ ) = ξ ¯ 2 2 − π 2 gramo ξ ¯ 3 / 2

SEGUNDA PREGUNTA: ¿Cómo puedo usar correctamente el teorema del virial?

Pregunté algo como esto antes y pensé que lo entendía pero, obviamente, no es así. Por favor, aclareme esto; ¡gracias de antemano!

Hola @a Shy Guy: Evite el uso de corchetes [ ] en el título, los corchetes normalmente se reservan para indicar acciones de moderación.
@Qmechanic: Gracias por la instrucción; Soy bastante nuevo en physics.stackexchange.com. [] reemplazado por ()!

Respuestas (1)

Para abordar su primera pregunta: si esta es una buena opción depende de lo que considere "bueno". Claramente es una elección simple y la simplicidad podría ser buena, además es un ansatz que minimiza el problema similar del átomo de hidrógeno. Si define "bueno" como un límite superior preciso muy cercano a la verdadera energía del estado fundamental, no puede saberlo a menos que mejore su ansatz o calcule la energía exacta del estado fundamental. Al mejorar su ansatz, que conducirá a una expresión más complicada, o probar una nueva, puede comparar las energías y ver qué tan buena fue la inicial.

Para abordar su segunda pregunta: como se dijo en el hilo en el que hizo una pregunta similar, el teorema virial solo se cumple si (y solo si) la función de onda considerada es un estado propio de energía del sistema. Entonces, para usar el teorema del virial, debes demostrar que

H ^ ψ ( r , ξ ) = ϵ ( ξ ) ψ ( r , ξ ) ,
que casi nunca debería ser cierto. Por lo tanto, nunca deberías usar el teorema virial dentro del método variacional.

Teorema virial y método variacional: un ejercicio (reeditado)
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