Determinar el número de formas en que un número se puede escribir como suma de tres cuadrados

Legendre dio la siguiente respuesta, que no pudo probar (Gauss dio la primera prueba del teorema de los 3 cuadrados). En aras de la simplicidad, solo cubriré el caso de los números.$c \equiv 5 \bmod 8$. En este caso considere las clases de equivalencia de formas con discriminante$-4c$; como Legendre, consideraremos la equivalencia con respecto a la acción de GL$_2({\mathbb Z})$. Dejar$P$denota las clases de forma que representan números primos$p \equiv 1 \bmod 4$, y$Q$los que representan números primos$q \equiv 3 \bmod 4$. Entonces el número de clases$P$es igual a la de las clases$Q$, y al número de formas en que$c$puede escribirse como una suma de tres cuadrados.

Si$c = 29$, las clases$P$son$x^2 + 29y^2$y$5x^2 + 2xy + 6y^2$, y estos corresponden a las dos formas distintas de escribir$29$como suma de tres cuadrados:$29 = 0^2 + 2^2 + 5^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2$.

Legendre conjeturó fórmulas similares para otros valores de$c$, que luego fueron probados por Gauss, pero usando clases con respecto a la acción de SL$_2({\mathbb Z})$.

Para el sistema de ecuaciones.

$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=x_4^2+x_5^2+x_6^2=x_7^2+x_8^2+x_9^2=x_{10}^2+x_{11}^2+x_{12}^2$$

Las soluciones se pueden parametrizar.

$$x_1=a(y^2+z^2+n^2)(p^2+s^2+n^2)(k^2+t^2+n^2)$$

$$x_2=b(y^2+z^2+n^2)(p^2+s^2+n^2)(k^2+t^2+n^2)$$

$$x_3=c(y^2+z^2+n^2)(p^2+s^2+n^2)(k^2+t^2+n^2)$$

$$x_4=(ay^2-2byn+az^2-2czn-an^2)(p^2+s^2+n^2)(k^2+t^2+n^2)$$

$$x_5=(bz^2-2cyz-by^2-2ayn+bn^2)(p^2+s^2+n^2)(k^2+t^2+n^2)$$

$$x_6=(cy^2-2byz-cz^2-2azn+cn^2)(p^2+s^2+n^2)(k^2+t^2+n^2)$$

$$x_7=(ap^2-2bpn+as^2-2csn-an^2)(y^2+z^2+n^2)(k^2+t^2+n^2)$$

$$x_8=(bs^2-2cps-bp^2-2apn+bn^2)(y^2+z^2+n^2)(k^2+t^2+n^2)$$

$$x_9=(cp^2-2bps-cs^2-2asn+cn^2)(y^2+z^2+n^2)(k^2+t^2+n^2)$$

$$x_{10}=(ak^2-2bkn+at^2-2ctn-an^2)(y^2+z^2+n^2)(p^2+s^2+n^2)$$

$$x_{11}=(bt^2-2ckt-bk^2-2akn+bn^2)(y^2+z^2+n^2)(p^2+s^2+n^2)$$

$$x_{12}=(ck^2-2bkt-ct^2-2atn+cn^2)(y^2+z^2+n^2)(p^2+s^2+n^2)$$

Es interesante que tales triples puedan ser demasiado. La fórmula se puede aumentar a cualquier número. Que es lo mismo escribir no solo para 4 particiones, sino para cualquier número. Lo principal que todas las variables no eran idénticas entre sí.

Puedes intentar algo como:

check=new Array();
for (i=1;i<12;i++)
for (j=i;j<12;j++)
for (k=j;k<12;k++) {
n=i*i+j*j+k*k;
if (!check[n]) check[n]=0;
check[n]++;
}
for (a=0;a<check.length;a++)
if (check[a]>=4) console.log(a);

lo que prueba$129$es el número más pequeño, seguido de:

$$134=11^2+3^2+2^2=10^2+5^2+3^2=9^2+7^2+2^2=7^2+7^2+6^2$$

Puede determinar el número de representaciones por$3$cuadrados restando cuadrados de$N$y usando$\sum_\limits{x\le \sqrt{N}} r_2(N-x^2)$, dónde$r_2$es la función suma de (dos) cuadrados .