¿Por qué la energía de una partícula en una caja 2D y 3D es proporcional a 1L21L2\frac{1}{L^2}?

Question

¿Por qué la energía de una partícula en una caja 2D y 3D es proporcional a 1L21L2\frac{1}{L^2}?

usuarioMuchosNúmeros

La energía de una partícula en una caja 2D y 3D viene dada por

mi = \frac{{norte}^{2} ℏ^{2} π^{2}}{2 metro L^{2}}

$E= \frac{n^2 \hbar^2 \pi^2}{2 m L^2}$

dónde $L$ es la longitud de la caja cuadrada/cúbica. hubiera esperado $L^2$ para 2D y $L^3$ para 3D. ¿Por qué es $L^2$ ¿para ambos?

Respuestas (2)

¿Por qué la energía de una partícula en una caja 2D y 3D es proporcional a 1L21L2\frac{1}{L^2}?

Adán · Answer 1

Adán

Para una partícula en una caja de tamaño $L$ , $L$ es la única escala de longitud, por lo que la energía tiene que ir como $\frac{\hbar^2}{ mL^{2}}$ por análisis dimensional, en cualquier dimensión. Lo mismo en 1D también.

usuarioMuchosNúmeros

Estoy confundido sobre cómo ha usado el término 'escala de longitud'; la página de Wikipedia para la escala de longitud no hace que la interpretación de esto sea obvia para mí. ¿Estás diciendo que la longitud es necesariamente unidimensional? ¿Qué está haciendo físicamente la partícula que significa?

L^{2}

$L^2$ siempre es aplicable? Lo siento por ser obtuso.

usuarioMuchosNúmeros

¿Es en absoluto porque

n^{2}

$n^2$ tiene en cuenta el número de dimensiones (así como el nivel de energía), entonces el resto del término es básicamente un factor de escala?

Adán

Lo que quiero decir es que

L

$L$ es la única longitud que tenemos a nuestra disposición en el problema. Por lo tanto, la única escala de energía que podemos tener es

\frac{ℏ^{2}}{m L^{2}}

$\frac{\hbar^2}{m L^2}$ , por lo que todas las energías estarán en unidades de

\frac{ℏ^{2}}{m L^{2}}

$\frac{\hbar^2}{m L^2}$ , independiente de la dimensión.

mikael kuisma · Answer 2

El hamiltoniano de una caja de electrones que no interactúan es separable. Esto significa que

H = \sum_{d} H_{d}

$H = \sum_d H_d$

y que la función de onda del estado fundamental (despreciando la simetrización) se da como

ψ (r) = ψ_{1} (r_{1}) ψ_{2} (r_{2}) \dots ψ_{d} (r_{d})

$\psi(r) = \psi_1(r_1) \psi_2(r_2) \ldots \psi_d(r_d)$ .

Entonces es fácil demostrar que la energía es

$H \psi = (E_1 + E_2 \ldots E_d)\psi = E\psi$ .

Entonces, la partícula que no interactúa en N dimensiones tiene el mismo hamiltoniano que N partículas que no interactúan en 1 dimensión.

¿Por qué la energía de una partícula en una caja 2D y 3D es proporcional a 1L21L2\frac{1}{L^2}?

usuarioMuchosNúmeros

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Adán

usuarioMuchosNúmeros

usuarioMuchosNúmeros

Adán

mikael kuisma

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