¿Cómo encontramos el número de estados acotados en este potencial?

Tenga en cuenta que en un potencial $-1/(x^4+1)$aunque el número de estados sería finito...

Lo siento, todavía tengo un poco de confusión ya que no sé nada sobre WKB... Usé la integración numérica para encontrar que hay 4 valores propios menores que 0, y el resto son mayores que 0... Pensé que solo energía mayor que 0 no están limitados

@tjkt: llame a WKB en este contexto Cuantización de Bohr-Sommerfeld y es posible que esté familiarizado con eso. Si los valores numéricos solo le dan 4 valores propios, entonces los valores numéricos son incorrectos. Sin embargo, no especificó el hamiltoniano ni el espacio de Hilbert. Supuse que querías resolver la ecuación de Schrödinger en $x\in \mathbb{R}$...

Entonces, si es cierto, ¿SHO tiene estados límite infinitos para el potencial <0?

@tjkt: el potencial para el oscilador armónico simple no llega a cero como $x \rightarrow \infty$. No puede usar el SHO como modelo para comprender el comportamiento de su sistema a medida que la energía de los estados vinculados se aproxima a cero.

en el limite $x_0 \rightarrow 0$, el potencial parece una función delta del peso $-\pi x_0$y solo espera un estado límite único cercano a la energía cero. ¿El método WKB falla aquí o estoy equivocado?

@Praan: Yo diría que es un poco simplificado pensar que para $x_0\to 0$obtienes una función delta. Es el hecho de que el potencial se acerca a 0 para $x\to \infty$solo como $1/x^2$que permite una infinidad de estados ligados. Una función delta "verdadera" se acercaría a 0 más rápido (ya por $1/x^4$obtienes un número finito de estados enlazados).

¿Me puede dar algunos consejos sobre cómo mostrar esto numéricamente? He tratado de no dimensionar este SE para obtener la forma de $1/2\frac{d^2}{ds^2} \psi - A/(1+s^2/A) \psi = B \psi$, dónde $A = V_{0}/\hbar \omega$y $B = E/\hbar \omega$, y $\omega$es la frecuencia del oscilador armónico. Al resolver esto, obtuve 4 valores negativos y el resto son positivos.

@Fabian Ok, entonces puedes pensar en este potencial como regularizado $1/x^2$potencial y el espectro tiene un punto de acumulación de energía cero. Gracias.

@tjkt Sospecho que las energías positivas son soluciones falsas. Probablemente necesite una cuadrícula muy fina y grande para encontrar más valores negativos. Esto es de esperar ya que un estado cercano a la energía cero está débilmente ligado. Tal vez pueda verificar la función de onda del estado fundamental y los primeros estados excitados; deben parecerse a las funciones de onda del oscilador armónico.

@tjkt Tras una investigación más detallada, estoy seguro de que las energías positivas son falsas y aún no han convergido. En cualquier caso, nunca podrá encontrar el espectro completo numéricamente porque necesitaría una precisión infinita. Tal vez una gráfica de la energía del estado fundamental como una función del regulador $A$(o $x_0$o $m$) sería bueno. De hecho (por $V(x) = -1/(x^2+m^2)$) esto es muy interesante y está relacionado con potenciales singulares y ruptura de simetría anómala.