Soluciones enteras distintas a ecuaciones lineales que involucran números irracionales

Dejar α y β sean números irracionales tales que α / β también es irracional. ¿Podemos demostrar que no hay soluciones enteras posibles para

X + α y + β z = X ′ + α y ′ + β z ′
con X ≠ X ′ , y ≠ y ′ , y z ≠ z ′ ?

Es obvio que no existen soluciones con solo uno de los pares "no coincidentes" (es decir, X ≠ X ′ , y = y ′ , z = z ′ ). Y es bastante trivial demostrar que no existen soluciones con dos pares "no coincidentes" (por ejemplo, X ≠ X ′ y y ≠ y ′ pero z = z ′ ); la prueba procede por contradicción. Pero no veo cómo extender directamente la prueba para mostrar que no existen soluciones donde los tres valores son distintos.

Por contexto, esto está relacionado con una pregunta sobre Physics.SE sobre las degeneraciones de los niveles de energía en una caja tridimensional. Al escribir mi respuesta allí, me di cuenta de que no tenía una prueba concisa para la declaración que hice sobre las cajas cuyas longitudes laterales son múltiplos irracionales entre sí, aunque me sorprendería si resultara ser falsa.

Las suposiciones no son suficientes, considere por ejemplo 1 + 8 = 1 + 2 2 o 1 + 2 = 5 + 2 2 . Esto solo sería cierto si α , β son racionalmente independientes .
debe agregar la condición de que también metro α + norte β debe ser irracional. de hecho si α = pag i , β = 1 − π entonces puedes encontrar soluciones enteras
pero .. (no estoy muy dentro del ph cuántico) ¿son físicamente admisibles las cajas con lados irracionales? ¿no deberían cuantificarse?
@dxiv: Ahí está el concepto que estaba buscando. Y parece que si α , β y 1 son racionalmente independientes, entonces la prueba sigue por definición de independencia racional.

Respuestas (1)

Tenga en cuenta que su pregunta es equivalente a preguntar si hay soluciones integrales para

X + α Y + β Z = 0 ,
tomando X = X − X ′ , Y = y − y ′ y Z = z − z ′ .

Se han dado contraejemplos simples en los comentarios, por ejemplo β = α + 1 por cualquier irracional α , con ( X , Y , Z ) = ( 1 , 1 , − 1 ) .

Soluciones enteras distintas a ecuaciones lineales que involucran números irracionales
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v