Definición de igualar a cero la constante de integración.

¡Buena pregunta! "Establecer la constante de integración en cero" tiene un sentido claro solo en un contexto donde se ha especificado una antiderivada particular y no queremos agregarle una constante aditiva.

Otro ejemplo para complementar el tuyo: aunque$-\arccos x\ne \arcsin x,$

$$-\arccos x+C_1=\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C_2.$$

Matemáticamente, no hay diferencia: el conjunto de expresiones$\{x^2+C:C \in \mathbb{R}\}$es el mismo conjunto que el conjunto$\{x^2+\pi+C:C \in \mathbb{R}\}$.

La única diferencia es que uno de ellos es más fácil de leer. Las matemáticas escritas son una forma de comunicación y usted quiere expresarse claramente al lector. Esto no se logra simplemente haciendo afirmaciones que comienzan con hechos y procedimientos aceptados y conducen lógicamente a la conclusión. También debe minimizar el esfuerzo que el lector pone para comprender su trabajo. Esto es similar a cómo escribes tu respuesta como$x^2+C,C \in \mathbb{R}$en lugar de$x^2+y:y \in \mathbb{R}$: matemáticamente está bien, pero difiere de la convención, y dejará al lector con una pregunta: "¿Por qué lo dijiste así?", lo que significa que no estarán seguros de entender lo que intentas hacer.

Si usted dice$x^2+\pi+C$, el lector se preguntará dónde está el$\pi$proviene y por qué es importante. Tal vez esté ahí por una buena razón (por ejemplo, si$x^2+\pi$era importante en otro lugar), y en esa situación podría decirse que debería dejar su respuesta como$x^2+\pi+C$en lugar de$x^2+C$(Probablemente todavía no lo haría si estuviera escribiendo para otros investigadores, pero podría hacerlo si estuviera escribiendo para estudiantes de último año de secundaria). Pero eso significa que si dejas tu respuesta como$x^2+\pi+C$, el lector estará esperando la$+\pi$ser importante más adelante.

En el tratamiento riguroso de la integración, no hay ningún símbolo$\int f(x)dx$que sugieren el grado de libertad en el$+C$, pero la idea de que todavía existe. Sólo hay una función integrable.$f:[a,b]\to\mathbb{R}$siendo integrado en un intervalo$\int_a^b f$. Observe que no hay necesidad de la variable ficticia$x,t$y la "variable de integración"$dx,dt$.

Dada una función continua (por lo tanto, integrable)$f:[a,b]\to \mathbb{R}$, podemos definir la integral indefinida$F$de$f$por

$$F(x):=\int _a^x f,$$ y esta cosa tiene la propiedad de que$F'=f$, es decir$F$es la antiderivada de$f$. cualquier antiderivada$G$de$f$debe satisfacer$(G-F)'=G'-F'=f-f=0$, entonces$G$y$F$difieren por una constante, escribe$G=F+C$. Aquí vemos que si fijamos una antiderivada particular$F$ser definido así, entonces el$+C$es un número fijo (depende de su$G$), no una constante arbitraria.

Espero que esta forma de poner$+C$es claro.

Como ha señalado, y como han señalado otras respuestas, puede redefinir su constante de integración como lo desee. Entonces, 'establecer la constante igual a cero' no tiene un significado formal a priori.

Supongamos que desea integrar$f(x)$. Entonces creo que lo que la gente quiere decir con 'establecer la constante igual a cero' es 'elija una antiderivada que le parezca más simple y llámela$F(x)$. Escribe tu integral como$\int f(x)dx = F(x)+C$, y luego configure esto$C$igual a cero'

Esta definición de 'establecer la constante igual a 0' ahora es subjetiva y depende del contexto, porque será diferente según las funciones que encuentre más simples. Sin embargo, suele ser una buena definición, especialmente en el caso de cursos de introducción al cálculo. En este caso, hay una antiderivada canónica 'más simple' para muchas integrales consideradas; p.ej. al integrar$e^{a x}, x^a, \sin(a x)$etc., simplemente defina$F(x)$ser la antiderivada con el menor número de términos.

Si desea considerar antiderivadas para funciones más complejas, como señala Korn Kruaykitanon, entonces puede considerar definir su antiderivada en términos de una integral definida de modo que$F(x) := \int_b^x f(x')dx'$. Ahora podría, por ejemplo, elegir$b=0$y tendría una definición independiente del contexto de 'establecer la constante igual a 0', sin embargo, en la práctica$b$a menudo todavía se elegiría para simplificar un problema específico.

Realmente no tiene sentido en el caso general. Lo que significa es que asumes que hay una forma canónica de escribir las antiderivadas como una suma, y ​​luego eliminas cualquier término constante de esta suma, haciéndola lo más simple posible.

En muchos casos prácticos sí existe una forma de “sentido común” donde es obvio cuáles son los términos constantes; ciertamente este es el caso de polinomios como su ejemplo. Pero esto no es cierto para las funciones arbitrarias (muchas personas parecen pensar que una función es una expresión algebraica particular, pero no lo es)). Un buen ejemplo es$\arccos x = \tfrac\pi2 - \arcsin x$como en la respuesta de ryang - ninguno de los dos$\arccos$y$\arcsin$es en cualquier sentido significativo preferible al otro, por lo que es principalmente una elección arbitraria.

A menudo tiene sentido elegir la función de tal manera que$F(0) = 0$. Para polinomios, esto corresponde simplemente a omitir el término constante. Por otro lado, para las exponenciales no es útil, simplemente llevaría consigo un$-1$sin una buena razón, y si 0 ni siquiera está en el dominio, por supuesto, esta no es una opción en absoluto.