Definición de grupos de homología directamente desde la topología

Tanto las teorías de homología simplicial como singular se basan en 'objetos modelo', simples o complejos simpliciales, para definir los grupos de homología de un espacio topológico.

Me preguntaba si hay una manera de definir grupos de homología directamente desde la estructura de conjunto abierto de un espacio. ( X , T ) . Aquí hay una formulación formal de mi pregunta:

¿Hay alguna manera de asociar grupos de homología a retículas acotadas con uniones arbitrarias para que H norte ( X ) ≃ H norte ( T ) , al ver T como tal celosía?

Por supuesto, esto necesita alguna hipótesis sobre X , aunque sólo sea para acordar una definición de H norte ( X ) . No me importa si las suposiciones fuertes sobre X (Hausdorff compacto, triangular) son necesarios.

Tenga en cuenta que si la respuesta es positiva, entonces ( X , T ) y ( Y , T ′ ) tendría los mismos grupos de homología siempre que T ≃ T ′ . Pero esto no es sorprendente ya que de hecho T ≃ T ′ implica X ≃ Y asumiendo que ambos espacios son Hausdorff; ver mi pregunta anterior .

El conjunto de conjuntos abiertos de un espacio topológico es una categoría, que se puede convertir en una topología de Grothendieck. La cohomología del espacio se puede calcular usando álgebra homológica en la categoría de poleas en esa topología de Grothendieck. Esto coincide con la cohomología singular cuando el espacio es razonable (por ejemplo, paracompacto)
No estoy seguro de por qué te votaron negativamente, ¡creo que es una buena pregunta!
Supongo que las cosheaves en la topología de Grothendieck deberían dar homología en buenas circunstancias, pero no sé.
@MarianoSuárez-Alvarez, su comentario parece por qué quería, incluso si se trata de cohomología y no de homología. ¿Tienes alguna referencia desarrollando lo que dijiste? Preferiblemente algo adecuado para alguien que acaba de escuchar acerca de las topologías de Grothendieck...
El libro de Tamme sobre cohomología etale es un gran lugar para aprender sobre las topologías de Grothendieck y sus cohomologías, o las notas de Milne sobre el tema. Ambos deben establecer la conexión con la cohomología de la gavilla en un espacio topológico. A partir de ahí, debe comparar eso con la cohomología singular, y eso se hace en el libro de Bredon sobre poleas, si no recuerdo mal.
@MarianoSuárez-Alvarez ¡Muchas gracias! Si desea escribir una respuesta, la votaré y probablemente la aceptaré si no surge nada más.

Respuestas (1)

Aquí está la construcción de una teoría de (co) homología para celosías que produce la (co) homología Čech en el caso de espacios topológicos cuando se aplica a la celosía de subconjuntos abiertos. Recuerde que la teoría de Čech funciona con cubiertas abiertas. Un análogo de una cubierta abierta en una celosía. L es un subconjunto C de L satisfaciendo la propiedad de que la unión de los elementos de C es igual al único elemento máximo de L . (La suposición es que L está acotado y tiene uniones arbitrarias.)
Me referiré a tales C como una cubierta de L . Yo digo que una cubierta C de L refina una cubierta C ′ de L si por cada C ∈ C existe C ′ ∈ C ′ tal que C ≤ C ′ . un refinamiento de C ′ Es como C junto con un mapa F : C → C ′

F : C ↦ C ′ , C ≤ C ′ .

Dada una cubierta C de L definir su poset PAG C tomando encuentros de subconjuntos finitos de C . Esta poset produce un complejo simplicial X C , cuyos vértices son elementos de C y C 0 , . . . , C norte ∈ C definir un norte -simplex iff
C 0 ∧ C 1 ∧ . . . . ∧ C norte ≠ 0
dónde 0 es el elemento menor de L . La relación de incidencia entre tales simples es obvia. Ahora, la cohomología de Čech H ∗ ( L ) (con coeficientes en Z ) se define como el límite directo
límite C H ∗ ( X C )

donde el sistema directo es inducido por los refinamientos de los revestimientos C de L . Más precisamente, si ( C , F ) es un refinamiento de C ′ , obtenemos un mapa natural de complejos simpliciales
F ~ : X C → X C ′
enviando C ∈ C a F ( C ) ∈ C ′ . Ahora, use el mapa de retroceso de los grupos de cohomología
F ~ ∗ : H ∗ ( X C ′ ) → H ∗ ( X C ) .
El límite directo de este sistema directo se puede definir como la cohomología de Čech de L . Uno puede definir la homología de Čech de manera similar, usando la homología y el sistema inverso asociado en lugar del directo.

Su respuesta es muy clara y exactamente en el espíritu de lo que quería, ¡muchas gracias! Trabajaré en los detalles cuando comience (pronto, con suerte) a estudiar seriamente la cohomología de Cech.
Esto es muy interesante. ¿Ha habido algún desarrollo de esta idea? Sé que hay teorías de cohomología muy generales sobre las topologías de Grothendieck, pero me parece que podrían surgir cosas interesantes al investigar esta (co) homología particular en las redes.
@Castor Ni idea.
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