Error en la prueba del Lema 2.3 en el Capítulo 3 del Análisis de Fourier de Stein y Shakarchi

Estoy leyendo el Análisis de Fourier de Stein y Shakarchi y me parece que hay un error en la prueba del Lema 2.3 en el Capítulo 3. Me pregunto si hay algo que me estoy perdiendo o si alguien podría sugerir una prueba alternativa. ¡Cualquier idea sería apreciada!

El Lema 2.3 dice: "Supongamos que Abel significa$A_r = \sum_{n = 1}^\infty r^n c_n$de la serie$\sum_{n=1}^\infty c_n$están delimitados como$r$tiende a 1 (con$r < 1$). Si$c_n = O (1/n)$, entonces las sumas parciales$S_N = \sum_{n = 1}^N c_n$están acotados".

La prueba es como sigue.

Dejar$r = 1 - 1/N$y elige$M$de modo que$n|c_n| \leq M$. Estimamos la diferencia

$S_N - A_r = \sum_{n = 1}^N (c_n - r^n c_n) - \sum_{n = N+1}^\infty r^n c_n$

como sigue:

$|S_N - A_r| \leq \sum_{n = 1}^N |c_n| (1-r^n) + \sum_{n= N+1}^\infty r^n |c_n| \leq M \sum_{n=1}^N (1-r) + \frac{M}{N} \sum_{n = N+1}^\infty r^n \leq MN(1-r) + \frac{M}{N} \frac{1}{1-r} = 2M$,

donde hemos utilizado la simple observación de que

$1-r^n = (1-r)(1+r+\cdots + r^{n-1}) \leq n(1-r)$.

Entonces vemos que si$M$satisface ambos$|A_r| \leq M$y$n|c_n| \leq M$, entonces$|S_N| \leq 3M$.

El error que noto aquí está en la línea donde los autores afirman que$MN(1-r) + \frac{M}{N} \frac{1}{1-r} = 2M$. Según mis cálculos, usando su suposición de que$r = 1 - 1/N$, en su lugar tenemos lo siguiente:

$MN(1-r) + \frac{M}{N} \frac{1}{1-r} = M(N-1) + \frac{M}{N-1} = M(\frac{(N-1)^2 + 1}{N-1}) = M \frac{N^2 - 2N + 2}{N-1} = M \frac{(N-1)(N-2)}{N-1} = M(N-2)$. Esto claramente no está limitado.

¡Gracias de nuevo! ¡Cualquier idea sería apreciada!