¿Qué evidencia hay de que Fermat tenía una prueba para su último teorema?

La otra respuesta es correcta. Además, existe evidencia significativa de que Fermat no tenía una demostración del teorema que ahora se conoce como el último teorema de Fermat.

Primero, debemos notar que Fermat no fue un matemático profesional, solo un aficionado. Él nunca publicó ninguna matemática él mismo. Con solo eso, no parecería extraño que no publicara su prueba. Sin embargo, su hijo Samuel decidió recopilar los escritos y cartas de Fermat. El famoso margen que era demasiado pequeño para la prueba era el margen de la copia de Fermat de la Aritmética de Diofanto . Fermat probablemente escribió esta nota alrededor de 1630 cuando comenzó a estudiar este texto.

De sus escritos y cartas, vemos una tendencia común. Casi todos los problemas que Fermat mencionó haber resuelto se incluyeron en su trabajo más de una vez y, por lo general, se reformularon como problemas de desafío que luego envió a varios matemáticos con los que estaba en correspondencia. Sin embargo, FLT aparece solo una vez, en este margen. Nunca más se menciona en ningún escrito que Samuel pudo encontrar. Suponiendo que realmente tuviera una prueba (larga) que no fuera incorrecta, probablemente la habría escrito o discutido con otros matemáticos, como lo hizo con prácticamente todos los demás resultados que encontró.

De hecho, en sus escritos, encontramos referencias posteriores a casos especiales del teorema (ver Wikipedia, Pruebas del último teorema de Fermat para exponentes específicos ). Ambos$n=3$y$n=4$casos se encuentran en sus escritos posteriores. No está claro si conocía una prueba de la$n=3$caso, pero si lo hizo, se desconocía en el momento de su muerte y no se encontró ninguno hasta Euler en 1760. Sin embargo, envió varias cartas, en 1636, 1640 y 1657, que contenían este caso como un problema. La única prueba superviviente de Fermat es equivalente a una prueba de la$n=4$caso. Le parecería muy extraño plantear el problema en 1630 para todos$n$, y luego en escritos muy posteriores, para especializarse en dos casos.

Con esto en mente, parece que hay tres posibilidades.

1. Fermat nunca tuvo la intención de afirmar que conocía una prueba de FLT para todos$n>2$, y solo quería establecer FLT como una conjetura. Es posible que haya tenido la intención de especializarse para$n=3$y/o$n=4$. Después de todo, se trataba de un escrito privado de un matemático aficionado que estaba aprendiendo teoría de números. Nunca tuvo la intención de ser comunicado a otros, y en sus comunicaciones no podemos encontrar ninguna indicación de tal afirmación. No está claro qué habría querido decir con la nota en el margen.

2. Fermat creía tener una prueba de esto para todos.$n>2$En el momento. Sin embargo, estaba equivocado, y muy probablemente lo descubrió él mismo, posiblemente mientras intentaba escribir la prueba. Esto explicaría sus posteriores especializaciones a la$n=3$y$n=4$casos, en sí mismos no triviales, y su decisión de no comunicar el resultado a ninguno de los matemáticos con los que estaba en contacto. Exactamente lo que podría haber sido esta prueba no está claro. Desde entonces, muchas personas no han podido probar FLT de muchas maneras. Siendo muy generoso, podría haber hecho una suposición similar o de algún modo equivalente a la que hizo Lamé en su intento fallido de 1847, es decir, que$\mathbb Z[\zeta_n]$(dónde$\zeta_n$es un primitivo$n$-ésima raíz de la unidad) tiene factorización única para todos$n$. Incluso eso habría estado muy por delante de su tiempo. Pero su error también podría haber sido algo más mundano.

3. Fermat (que era solo un aficionado, aunque extremadamente talentoso) encontró una prueba elemental correcta de FLT que desde entonces ha evadido a miles de matemáticos con tecnología más sofisticada y una comprensión más completa de la teoría de números durante un período de más de 350 años. Nunca escribió esto ni comunicó este resultado a ningún matemático, prefiriendo discutir solo dos casos específicos. Esto no se puede descartar técnicamente, pero parece muy poco probable, y la única evidencia que lo respalda es una nota privada garabateada en el margen de un texto por un hombre que estaba aprendiendo teoría de números por primera vez.

Las dos primeras posibilidades parecen razonables, mientras que la tercera es casi completamente absurda. Este no sería el único caso en el que Fermat creyó tener un resultado que sólo fue completamente probado más tarde. El teorema del número poligonal es otro caso importante, que solo fue probado por Legendre para cuadrados en 1770, Gauss para triángulos en 1796 y Cauchy en general en 1812. Gauss en particular planteó serias dudas sobre si Fermat tenía una prueba de esto. La conjetura más popular es la posibilidad 2, que Fermat tenía algún tipo de argumento que era defectuoso pero que quizás funcionó para algunos pequeños exponentes. No han sobrevivido suficientes de sus escritos para adivinar cuál era ese método, y la prueba que dio para$n=4$no generaliza de manera obvia a otros exponentes.

Simplemente no es posible que Fermat descubriera una prueba que sea equivalente a la prueba de Wiles. Eso hubiera sido imposible; los conceptos necesarios para comprender la prueba de Wiles no se desarrollaron hasta el siglo XX.

No hay forma de que Fermat pudiera haber tenido algo que se acerque a la prueba ahora comúnmente aceptada. Casi ninguno de los conceptos de esa prueba se conocía de ninguna forma en la época de Fermat.

Además, Fermat es conocido por publicar muy pocas de sus pruebas; casi ninguno sobrevive hoy, e incluso en la década de 1800 había dudas significativas en la comunidad matemática de que tenía pruebas para gran parte de lo que afirmó como un hecho. (Esto no es para disminuir sus resultados; de hecho, lo hace aún más impresionante que su intuición lo llevó a tantos resultados que luego resultaron ser ciertos).

A partir de la evidencia que tenemos, lo más probable es que Fermat nunca haya afirmado tener una prueba del FLT, consulte la extensa discusión en Mathoverflow aquí . Citando de la respuesta aceptada:

No solo no sabemos la fecha, ni siquiera sabemos si escribió el comentario. Por lo que sabemos, podría haber sido inventado por su hijo Samuel, quien publicó los comentarios de su padre.

En sus cartas, Fermat nunca mencionó el caso general en absoluto, pero muy a menudo planteó el problema de resolver los casos n=3 y n=4. Estoy casi seguro de que Fermat descubrió el descenso infinito alrededor de 1640, lo que significa que en 1637 no tenía ninguna posibilidad de probar FLT para el exponente 4 (y mucho menos en general).