Cuantización de una partícula en una superficie esférica

En pocas palabras, el problema con la elección de operadores de OP$\hat{p}_j$y$\hat{H}$es que no son autoadjuntos . a la medida pertinente$\mu$. En otras palabras, el método habitual de integración por partes para demostrar la autoadjunción no funciona.

Aquí hay algunos detalles más. Pongamos las constantes$m=1=R$por simplicidad. Entonces el Lagrangiano de OP se vuelve de la forma

$$\tag{1} L~=~\frac{1}{2}g_{ij}~\dot{x}^i\dot{x}^j,$$

con coordenadas$x^1\equiv\theta$,$x^2\equiv\phi$y tensor métrico

$$\tag{2} g_{ij}~=~ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &\sin^2\theta \end{pmatrix}.$$

Clásicamente, los momentos lagrangianos son

$$\tag{3} p_i ~=~g_{ij}~\dot{x}^j,$$

y el hamiltoniano es

$$\tag{4} H~=~\frac{1}{2} g^{ij} ~p_i p_j.$$

La forma de volumen en el espacio de configuración es

$$\tag{5} \mu ~=~ \sqrt{g}~ \mathrm{d}x^1 \wedge \mathrm{d}x^2 ~=~ \sin{\theta} ~\mathrm{d}\theta \wedge \mathrm{d}\phi.$$

El espacio de Hilbert es$L^2(S^2,\mu)$. ¿Cuál es la representación de Schrödinger de los operadores de cantidad de movimiento? Bueno, ahora nos encontramos con ambigüedades en el orden de los operadores. Los operadores de cantidad de movimiento deben satisfacer como mínimo (i) el CCR y (ii) ser autoadjuntos. a la medida (5). Una idea para asegurar esto es usar

$$\tag{6} \hat{p}_j~=~ \frac{\hbar}{i\sqrt[4]{g}} \frac{\partial}{\partial x^j} \sqrt[4]{g}.$$

De manera similar, podemos elegir un operador hamiltoniano autoadjunto para que sea el operador de Laplace-Beltrami :

$$\tag{7} \hat{H}~=~-\frac{\hbar^2}{2}\Delta ~=~ -\frac{\hbar^2}{2\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial x^i}\sqrt{g}~ g^{ij} \frac{\partial}{\partial x^j}~=~ \frac{1}{2\sqrt[4]{g}} \hat{p}_i\sqrt{g}~ g^{ij} ~\hat{p}_j\frac{1}{\sqrt[4]{g}} .$$

En el caso de las dos esferas$S^2$, este operador hamiltoniano (7) conduce al cuadrado del momento angular$\hat{\bf L}^2$. Clásicamente, los operadores (6) y (7) se reducen a las funciones (3) y (4), respectivamente.

Referencias:

1. Bryce DeWitt, Supermanifolds, Universidad de Cambridge. Prensa, 1992; Sección 6.7.

La sabiduría convencional (como se indica en los libros de texto de Shankar o Griffiths, por ejemplo) dice que se eviten los operadores de cuantización en coordenadas curvilíneas siempre que sea posible. Mejor cuantizar los operadores cartesianos$p_x, p_y, p_z$y luego cambiar a coordenadas curvilíneas en la teoría cuántica. Consulte esta discusión del profesor Robert Jaffe en el MIT:[1]

El método de cuantización canónica se vuelve complicado y sutil cuando uno intenta aplicarlo a sistemas de coordenadas que incluyen puntos singulares. Un ejemplo familiar son las coordenadas polares esféricas$(r,\theta,\phi)$. El origen,$r=0$, es un punto singular para coordenadas polares esféricas---por ejemplo,$\theta$y$\phi$no están definidos en$r=0$. Si sigues el formalismo canónico desde el lagrangiano hasta los momentos canónicos$(p_r,p_{\theta},p_{\phi})$al hamiltoniano, a los conmutadores canónicos, surgen una serie de dificultades. Aunque es posible clasificarlos insistiendo en que todos los momentos canónicos sean operadores hermitianos, es considerablemente más fácil cuantificar el sistema en coordenadas cartesianas y realizar el cambio a coordenadas polares esféricas a nivel cuántico. Este es el camino seguido en la mayoría de los tratamientos elementales de la mecánica cuántica en tres dimensiones: el operador$p^2 = p_1^2 + p_2^2 +p_3^2$se reconoce como el laplaciano en la representación de coordenadas$(p_j \to -i\hbar > \partial/\partial x_j \implies p^2 \to \nabla^2)$y la transformación a coordenadas polares se realiza escribiendo el laplaciano y la función de onda en términos de$r$,$\theta$, y$\phi$. Como regla general, el enfoque canónico se vuelve engorroso cuando las coordenadas clásicas y/o los momentos no varían en todo el intervalo desde$-\infty$a$+\infty$.

[1] RL Jaffe, "Cuantificación canónica y aplicación a la mecánica cuántica de una partícula cargada en un campo magnético", Notas complementarias para la secuencia de teoría cuántica del MIT , febrero de 2007