¿Cuál es la relación entre la vibración del campo y la fluctuación cuántica?

La palabra "fluctuación" aparece en muchos contextos diferentes, la mayoría de las veces sin una definición formal y, a veces, significa muchas cosas diferentes.

Por ejemplo, en el contexto de la mecánica estadística, SF Gull escribe:

Supongamos que usamos el algoritmo de Gibbs para establecer un conjunto de equilibrio y calcular el promedio del conjunto de una cantidad de interés$f$, junto con su varianza$(\Delta f)^{2} \equiv \langle(f - \langle f \rangle)^{2} \rangle$. Ahora$\Delta f$ciertamente representa nuestra incertidumbre acerca de la cantidad$f$pero, de acuerdo con la mayoría de las exposiciones de mecánica estadística, también se supone que indica el nivel de fluctuaciones temporales de$f$. Aquí nuevamente, entonces, hay un concepto erróneo: ¡el hecho de que no estemos seguros sobre el valor de una cantidad no significa en sí mismo que deba estar fluctuando! Por supuesto, podría estar fluctuando y, si ese fuera el caso, sería una muy buena razón para no estar seguro de su valor. Sin embargo, sin más análisis, simplemente no sabemos si realmente fluctúa. Por fin hemos encontrado una pregunta en la mecánica estadística donde las consideraciones ergódicas son importantes. Podemos esbozar una respuesta parcial a este problema siguiendo a Jaynes (1979).

Definimos

$$\bar{f} = \frac{1}{T} \int{ f(t)\, dt }$$ como un promedio de tiempo a largo plazo y $$(\delta f)^{2} = \frac{1}{T} \int{ ( f(t) - \bar{f} )^{2} \, dt }$$ como una variación a largo plazo. Tomando promedios de conjunto, encontramos que $\langle f\rangle = \langle \bar{f}\rangle$; sin embargo $$\langle(\delta f)^{2} \rangle = (\Delta f)^{2} + (\Delta \bar{f})^{2}$$ y este segundo término no es necesariamente cero.

La situación es la siguiente: si se toma un promedio de tiempo durante un intervalo de tiempo demasiado corto, entonces la variación observada en$f$por supuesto puede ser \emph{menor} que el$\Delta f$del conjunto de equilibrio. Sin embargo, la variación a largo plazo de$f$en realidad puede ser mayor que$\Delta f$, dependiendo de una propiedad particular del pdf del conjunto. Incluso entonces, aunque podemos calcular$\langle \bar{f}\rangle$y$\langle(\delta f)^{2} \rangle$como arriba, todavía no sabemos si estas estimaciones son confiables; para ello tenemos que examinar las correlaciones de orden superior del conjunto. Los detalles están nuevamente en Jaynes (1979).

La moraleja es que el algoritmo de Gibbs da la incertidumbre de nuestras predicciones, no la fluctuación temporal observada. Decir que una cantidad termodinámica en realidad fluctúa (lo que, por supuesto, bien puede suceder) requiere un análisis adicional, decididamente no trivial.

Entonces, aunque a menudo escucha a la gente hablar sobre "fluctuaciones térmicas", es posible que no quede claro de inmediato si lo que dicen realmente significa algo o si es solo un sinónimo elegante de efectos térmicos .

La situación es bastante similar en la mecánica cuántica. Las cantidades tienen incertidumbres intrínsecas debido a un álgebra observable que no conmuta, lo que puede conducir a la misma confusión que la anterior: decir que una cantidad "fluctúa" cuando todo lo que realmente se le permite decir es que es incierta. Y al igual que antes, la expresión "fluctuaciones cuánticas" se usa a menudo como un sinónimo elegante de efectos cuánticos .

Ahora, para agregar algo más sustancial que la semántica pura a esta discusión, considere el efecto Casimir para una partícula sin masa en una dimensión espacial*. Se supone que debe considerar configuraciones de campo que obedecen ciertas condiciones de contorno, por ejemplo

$$\phi(0,t) = \phi(L,t)$$

Ya no hay un continuo de modos posibles. La expansión del campo en sus modos de Fourier sería algo así como:

$$\phi(x,0) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} {a_k \exp\left(i \left(\frac{2 \pi k}{L}\right)x\right) + a^\dagger_k \exp\left(-i \left(\frac{2 \pi k}{L}\right)x\right)}$$

Nuestro objetivo es calcular el valor esperado del hamiltoniano en el estado de vacío,

$$\langle 0 | H | 0 \rangle = \sum_{k \in \mathbb{Z} } \omega_k \langle 0 | a_k a^\dagger_k | 0 \rangle = \sum_{k \in \mathbb{Z} } \frac{2 \pi k }{L}$$

Tal como está, esta suma es obviamente divergente y requiere regularización. No me molestaré con eso, ya que ese no es el punto de esta publicación. Mira aquí si estás interesado; solo tenga en cuenta que usaron condiciones de contorno de Dirichlet, y yo usé condiciones de contorno periódicas.

El objetivo de este ejemplo es ilustrar lo que la gente quiere decir cuando habla de "fluctuaciones cuánticas" entre las placas. De hecho, están relacionados con el oscilador armónico hamiltoniano para cada modo de Fourier, pero se aplican las advertencias señaladas en la pregunta relacionada vinculada por ACuriousMind: hay una discusión interesante en los comentarios a su respuesta que debe leer.

También podemos conectar esto con las "fluctuaciones térmicas" al señalar que una forma de introducir la temperatura finita en las teorías de campo es tomar una teoría de campo definida en el espacio euclidiano e introducir condiciones de contorno periódicas en la dirección del tiempo (imaginario). Esto hace que la analogía entre estas "fluctuaciones cuánticas" y "fluctuaciones térmicas" sea precisa, de modo que los comentarios de SF Gull son directamente aplicables.

* Por favor, no tome este ejemplo demasiado en serio. Que no puede haber teorías de campos escalares sin masa en dos dimensiones del espacio-tiempo es un hecho bien conocido . El ejemplo en sí está bien porque las condiciones de contorno proporcionan un regulador infrarrojo natural, pero la interpretación en términos de placas paralelas, etc. no lo es.

Seré muy audaz y trataré de ser directo al grano.

No, no son lo mismo en el sentido de que su naturaleza es muy diferente aunque relacionada.

Piense en un oscilador armónico habitual, ya sea mecánico cuántico o clásico, el sistema oscilará con una frecuencia que es independiente de la naturaleza cuántica (o clásica) del sistema.

Ahora, debido a que un oscilador armónico es efectivamente un sistema confinado, existe una especie de "escala de longitud" de confinamiento típica que afectará el comportamiento cuántico. En particular, impone un límite aproximado a la incertidumbre en la posición (o campo de desplazamiento o lo que sea) que a su vez hace que la incertidumbre en el impulso de este campo tampoco sea cero (en virtud de las relaciones de conmutación que satisfacen).

El hecho de que este confinamiento genere un impulso distinto de cero se denomina fluctuación de punto cero y da lugar a un estado fundamental de energía distinta de cero (es decir, en constante oscilación).

Tenga en cuenta que cuanto más fuerte sea la "constante de resorte", más puede fluctuar a través de este mecanismo de incertidumbre.

Advertencia: intentaré responder a esto, pero lo haré muy rápido y suelto con las definiciones y la edición, porque tengo que ir a trabajar. Entonces, tómenlo con calma con los comentarios exigentes, haters. De todos modos...

Pero, ¿es esta oscilación o vibración la misma noción de fluctuación cuántica, o están relacionadas?

Lo primero que debe tener en cuenta es que no está claro en la publicación si ya ha "cuantificado" algo; es posible estudiar la ecuación de Klein-Gordan en el contexto de la teoría clásica de campos o la teoría cuántica de campos. La diferencia es que, en la teoría cuántica de campos, la$\phi(\vec x, t)$son operadores que satisfacen algunas relaciones canónicas de conmutación. P.ej,

$$[\hat\phi(\vec x),\hat\pi(\vec y)]=i\hbar\delta(\vec x-\vec y)$$

Pero... ya que está algo implícito en la pregunta... supongamos que tenemos una teoría cuántica.

A continuación, recuerde que en la segunda cuantificación, un operador puede escribirse como una integral sobre los campos cuantificados. Por ejemplo:

$$\hat {\vec P} \sim \int d^3x \hat\phi(\vec x)i\nabla \hat\phi(\vec x)\;,$$ dónde $\hat {\vec P}$es el operador de cantidad de movimiento total. Este tipo de ecuación es válida para operadores de una sola partícula como $\hat {\vec P}$, pero no operadores de dos partículas como, por ejemplo, la interacción electrostática (esos operadores requieren cuatro $\phi$operadores para expresar en 2ª cuantización). La ecuación anterior es la forma "segunda cuantificada" de la siguiente expresión para un sistema fijo de N partículas en "primera cuantificación": $$\hat {\vec P}=\sum_{i=1}^N\hat {\vec p_i}\;.$$ dónde $\hat {\vec p}_i$es el operador de cantidad de movimiento de la i-ésima partícula.

A continuación, tenemos que ser más precisos sobre lo que quiere decir con "fluctuación cuántica". Por lo general, esto significa algo similar a la varianza de algún operador que no es cero en la teoría cuántica pero cero en la teoría clásica, o diferente en la teoría clásica. Donde por "la varianza del operador$\hat O$" Quiero decir

$$\langle \hat O^2\rangle-\langle O\rangle^2\;,$$ donde el $<...>$indicar valores esperados con respecto a algún estado cuántico (o colección de estados como se especifica, por ejemplo, por una matriz estadística cuántica).

Es importante darse cuenta de que todavía necesitamos estados cuánticos en la teoría cuántica de campos, al igual que en la mecánica cuántica. La pregunta solo menciona operadores, no estados... por lo que es un poco ambiguo... Un estado comúnmente considerado es el llamado "estado de vacío".$|0\rangle$que es el estado que es aniquilado por todos los operadores de aniquilación (que no ha definido en su pregunta, pero asumiremos la definición habitual). Se pueden definir otros estados de número de ocupación actuando sobre el estado fundamental con operadores de creación.

Entonces, de todos modos, dado algún estado$|\Psi\rangle$y algún operador$\hat O$puede calcular las "fluctuaciones cuánticas" de la forma habitual que lo haría para cualquier sistema mecánico cuántico. ej., para el$\hat {\vec P}$quirófano

$$<P>=\langle \Psi|\int d^3 k a^\dagger(\vec k)\vec k a(\vec k)|\Psi\rangle\;,$$ dónde, $\vec k$es el impulso de una sola partícula.

Si$\Psi$es algún estado de número de ocupación definido como, por ejemplo,

$$|\Psi\rangle=a^\dagger(\vec k_1)a^\dagger(\vec k_2)|0\rangle$$ entonces en este caso podríamos calcular el valor esperado como $$<O>\sim\int d^3k {\vec k} \langle 0|a_{k_1}a_{k_2} a_k^\dagger a_k a_{k_1}^\dagger a_{k_2}^\dagger |0\rangle\;,$$ donde esto se puede evaluar usando las relaciones de conmutación y el álgebra lineal como $$a_ka_q^\dagger a_p^\dagger|0>=[a_k,a_q^\dagger a_p^\dagger]|0>=(\delta_{k,q}a_p^\dagger+\delta_{k,p}a_q^\dagger)|0>$$