¿Cuantización de sistemas disipativos?

En los cursos de pregrado, la introducción a la mecánica hamiltoniana generalmente comienza desde un punto de vista newtoniano. Uno tiene ecuaciones de movimientos de la forma (no estoy seguro si está bien usar la notación covariante para las fuerzas, pero lo haré de todos modos):

F m = − ∂ V ∂ X m

Luego, suponiendo ciertas propiedades del potencial (p. ej., que es independiente de las coordenadas de velocidad), se puede demostrar que se puede representar mediante la mecánica hamiltoniana.

Ahora mi pregunta es si los sistemas que no cumplen con estas condiciones (p. ej., sistemas disipativos, dos ejemplos de conservación de energía reciben la respuesta de @JohnSidles a esta pregunta ). ¿Se pueden cuantificar tales sistemas en algún sentido significativo?

Lo que realmente estoy tratando de lograr con esta pregunta es comprender mejor qué es realmente la cuantificación. Por lo general, tenemos un sistema hamiltoniano y reemplazamos el corchete de Poisson por relaciones de conmutación o anticonmutación y promovemos las funciones a los operadores. Pero, ¿es esto necesario para la cuantización o existe un principio subyacente que también se puede aplicar a otras cosas?

Ciertamente puedes abordarlo desde el punto de vista lagrangiano; pero una búsqueda rápida encontró otro método para usted: Quantization of non-Hamiltonian and Dissipative Systems . Solo leo el resumen.
Puedo responder a esto, pero quiero asegurarme de que está siendo justo con lo que está preguntando. Dices que en general estás interesado en cómo cuantificar un sistema cuya versión clásica no admite una descripción hamiltoniana. Sin embargo, el título de la publicación menciona específicamente solo los sistemas disipativos . Puedo darle una excelente respuesta sobre los sistemas disipativos, pero quiero hacerlo solo si eso realmente califica como una respuesta a la publicación. Si realmente solo quiere saber acerca de los sistemas disipativos, creo que debería editar el texto para reflejar eso, es decir, hacerlo más enfocado.
@Peter Diehr: tenga en cuenta que las formulaciones lagrangianas y hamiltonianas tradicionalmente van de la mano, cf. mi respuesta Phys.SE aquí . (Debo especificar que esto es en el contexto de teorías con un principio variacional).
@Qmechanic: estoy muy familiarizado con el Lagrangiano para la mecánica clásica, para el cual es bastante fácil tener en cuenta las fuerzas disipativas. Pero esto no se transfiere al hamiltoniano clásico, que generalmente se requiere que sea conservador. Aprendí la teoría lagrangiana, originalmente, del libro de Lanczos, The Variational Principles of Mechanics , y solo más tarde la versión del libro de texto de Goldstein.
Sí, también existe una generalización no variacional de la formulación lagrangiana , donde las fuerzas no necesariamente tienen potenciales, por ejemplo, el caso de la función de disipación de Rayleigh. Sin embargo, la pregunta de OP parece ser esencialmente sobre teorías no variacionales (a diferencia de las teorías variacionales) en lugar de una cuestión de ser lagrangiana frente a hamiltoniana. (Aquí asumo que OP solicita teorías totalmente cuantificadas, no solo métodos/descripciones efectivos/sin equilibrio de sistemas disipativos acoplados a un entorno/baño, que es un gran tema en sí mismo).
Una teoría variacional tiene un principio de acción .

Respuestas (1)

La mecánica cuántica disipativa no preserva la pureza de un estado, por lo que debe formularse en términos de operadores de densidad.

La dinámica conservativa se describe clásicamente por una dinámica conservativa obtenida a través de un principio de acción. La versión cuántica está dada a nivel de operadores de densidad por la ecuación de von Neumann que expresa la derivada del operador de densidad como un conmutador con el hamiltoniano.

Los sistemas autónomos disipativos se describen clásicamente modificando la dinámica conservativa mediante la adición de términos disipativos. De manera similar, la versión cuántica agrega a la ecuación de von Neumann términos disipativos de tipo doble conmutador. La más destacada es la ecuación de Lindblad, ampliamente utilizada en óptica cuántica disipativa.

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