¿Qué es la Cuantización?

En cuanto al punto c) , sobre cómo entran los números complejos en la teoría cuántica:

Esto tiene una hermosa explicación conceptual, creo, al aplicar la teoría de Lie a la mecánica clásica. Lo siguiente está tomado de lo que he escrito sobre el nLab en cuantización - Motivación de la mecánica clásica y la teoría de Lie . Consulte allí para obtener más indicaciones y detalles:

La cuantización, por supuesto, estuvo y está motivada por el experimento, por lo tanto, por la observación del universo observable: sucede que la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos dan cuenta correctamente de las observaciones experimentales donde la mecánica clásica y la teoría clásica de campos no dan respuesta o dan respuestas incorrectas. Un ejemplo históricamente importante es el fenómeno denominado “catástrofe ultravioleta”, una paradoja predicha por la mecánica estadística clásica que no se observa en la naturaleza y que es corregida por la mecánica cuántica.

Pero uno también puede preguntarse, independientemente de la entrada experimental, si hay buenas razones y motivaciones matemáticas formales para pasar de la mecánica clásica a la mecánica cuántica. ¿Podría uno haber llegado a la mecánica cuántica simplemente reflexionando sobre el formalismo matemático de la mecánica clásica? (Por lo tanto, más precisamente: ¿existe una Teoría del Campo Cuántico Sintético natural?)

A continuación se expone un argumento en este sentido. Funcionará para lectores con experiencia en matemáticas modernas, especialmente en la teoría de Lie, y con una comprensión de la formalización de la mecánica clásica/precuántica en términos de geometría simpléctica.

Entonces, para recordar brevemente, un sistema de mecánica clásica/mecánica precuántica es un espacio de fase, formalizado como una variedad simpléctica (X, ω). Una variedad simpléctica es en particular una variedad de Poisson, lo que significa que el álgebra de funciones en el espacio de fase X, por lo tanto, el álgebra de observables clásicas, está canónicamente equipada con un corchete de Lie compatible: el corchete de Poisson. Este corchete de mentira es lo que controla la dinámica en la mecánica clásica. Por ejemplo, si H∈C ∞(X) es la función en el espacio de fase que se interpreta asignando a cada configuración del sistema su energía (la función hamiltoniana), entonces el corchete de Poisson con H produce la evolución temporal infinitesimal del sistema: la ecuación diferencial famosa como las ecuaciones de Hamilton.

Algo a tener en cuenta aquí es la naturaleza infinitesimal del corchete de Poisson. En general, siempre que se tiene un álgebra de Lie 𝔤, debe considerarse como la aproximación infinitesimal a un objeto definido globalmente, el grupo de Lie correspondiente (o generalmente un grupo suave) G. También se dice que G es una integración de Lie de 𝔤 y que 𝔤 es la diferenciación de Lie de G.

Por lo tanto, una pregunta natural es: dado que los observables en la mecánica clásica forman un álgebra de Lie bajo el corchete de Poisson, ¿cuál es entonces el grupo de Lie correspondiente?

La respuesta a esto es, por supuesto, "bien conocida" en la literatura, en el sentido de que hay monografías relevantes que establecen la respuesta. Pero, tal vez sorprendentemente, la respuesta a esta pregunta no es (en el momento de escribir este artículo) un hecho ampliamente publicitado que haya encontrado su camino en los libros de texto educativos básicos. La respuesta es que este grupo de Lie que integra el corchete de Poisson es el “grupo de cuantomorfismo”, un objeto que conduce sin problemas a la mecánica cuántica del sistema.

Antes de explicar esto con más detalle, necesitamos un breve aparte técnico: por supuesto, la integración de Lie no es del todo única. Puede haber diferentes objetos de grupo de Lie globales con la misma álgebra de Lie.

El ejemplo más simple de esto ya es uno de importancia central para el tema de la cuantización, a saber, la integración de Lie del álgebra de Lie de la línea abeliana ℝ. Esto tiene esencialmente dos grupos de Lie diferentes asociados con él: el grupo de traducción simplemente conectado, que es simplemente ℝ en sí mismo nuevamente, equipado con su estructura de grupo abeliano aditivo canónico, y el cociente discreto de esto por el grupo de enteros, que es el grupo circular U(1)=ℝ/ℤ. Observe que es la naturaleza discreta y, por lo tanto, "cuantificada" de los números enteros lo que hace que la línea real se convierta aquí en un círculo. Esto no es del todo una coincidencia de terminología, pero se remonta al corazón de lo que se "cuantifica" en la mecánica cuántica.

Es decir, se encuentra que el álgebra de Lie con corchetes de Poisson 𝔭𝔬𝔦𝔰𝔰(X,ω) de los observables clásicos en el espacio de fase es (para X una variedad conexa) una extensión del álgebra de Lie del álgebra de Lie 𝔥𝔞𝔪(X) de los campos vectoriales hamiltonianos en X por la línea Álgebra de mentira: ℝ⟶𝔭𝔬𝔦𝔰𝔰(X,ω)⟶𝔥𝔞𝔪(X). Esto significa que bajo la integración de Lie el corchete de Poisson se convierte en una extensión central del grupo de simplectomorfismos hamiltonianos de (X,ω). Y o bien es la extensión no compacta bastante trivial por ℝ, o es la interesante extensión central por el grupo circular U(1). Para que exista esta integración de Lie no trivial, (X,ω) necesita satisfacer una condición de cuantificación que dice que admite un paquete de líneas precuántico. Si es así, entonces esta extensión U(1)-central del grupo Ham(X, ω) de los simplectomorfismos hamiltonianos existe y se llama… el grupo de cuantomorfismos QuantMorph(X,ω): U(1)⟶QuantMorph(X,ω)⟶Ham(X,ω). Si bien es importante, por alguna razón este grupo no es muy conocido, lo que llama la atención porque contiene un pequeño subgrupo que es famoso en la mecánica cuántica: el grupo de Heisenberg.

Más precisamente, siempre que (X,ω) tenga una estructura de grupo compatible, en particular si (X,ω) es solo un espacio vectorial simpléctico (considerado como un grupo bajo la suma de vectores), entonces podemos preguntar por el subgrupo del cuantomorfismo grupo que cubre la acción (izquierda) del espacio de fase (X,ω) sobre sí mismo. Este es el correspondiente grupo de Heisenberg Heis(X,ω), que a su vez es una extensión U(1)-central del propio grupo X: U(1)⟶Heis(X,ω)⟶X. En este punto, vale la pena detenerse por un segundo para notar cómo el sello distintivo de la mecánica cuántica ha aparecido como de la nada simplemente aplicando la integración de Lie a las estructuras algebraicas de Lie en la mecánica clásica:

si pensamos en Lie integrando ℝ al grupo circular interesante U(1) en lugar del grupo de traslación no interesante ℝ, entonces el nombre de su elemento base canónico 1∈ℝ es canónicamente ”i”, la unidad imaginaria. Por lo tanto, a menudo se escribe la extensión central anterior de la siguiente manera: iℝ⟶𝔭𝔬𝔦𝔰𝔰(X,ω)⟶𝔥𝔞𝔪(X,ω) para amplificar esto. Pero ahora considere el caso especial simple donde (X,ω)=(ℝ 2,dp∧dq) es el espacio vectorial simpléctico bidimensional que es, por ejemplo, el espacio de fase de la partícula que se propaga en la línea. Luego, un conjunto canónico de generadores para el correspondiente álgebra de Lie con corchetes de Poisson consta de las funciones lineales p y q de la fama de los libros de texto de mecánica clásica, junto con la función constante. Bajo la identificación teórica de Lie anterior, esta función constante es el elemento base canónico de iℝ,

Con esta notación entonces el paréntesis de Poisson, escrito en la forma que hace manifiesta su integración de Lie, de hecho se lee [q,p]=i. Dado que la elección del elemento base de iℝ es arbitraria, aquí podemos cambiar la escala de i por cualquier número real que no desaparezca sin cambiar esta declaración. Si escribimos ”ℏ” para este elemento, entonces el corchete de Poisson se lee [q,p]=iℏ. Esta es, por supuesto, la ecuación distintiva de la física cuántica, si interpretamos aquí ℏ como la constante de Planck. Vemos que surge aquí simplemente al considerar la integración de mentira no trivial (lo interesante, lo no simplemente conectado) del corchete de Poisson.

Este es solo el comienzo de la historia de la cuantización, naturalmente entendida y de hecho "derivada" de la aplicación de la teoría de Lie a la mecánica clásica. A partir de aquí la historia continúa. Se llama la historia de la cuantización geométrica. Cerramos esta sección de motivación aquí con una breve perspectiva.

El grupo de cuantomorfismos que es la integración de Lie no trivial del corchete de Poisson se construye naturalmente de la siguiente manera: dada la forma simpléctica ω, es natural preguntar si es la forma de curvatura 2 de una conexión U(1)-principal ∇ en el paquete de líneas complejas L sobre X (esto es directamente análogo a la cuantificación de carga de Dirac cuando en lugar de una forma simpléctica en el espacio de fase consideramos la forma de fuerza de campo 2 del electromagnetismo en el espacio-tiempo). Si es así, dicha conexión (L,∇) se denomina haz de líneas precuánticas del espacio de fases (X,ω). El grupo de cuantomorfismos es simplemente el grupo de automorfismos del haz de líneas precuántico, que cubre los difeomorfismos del espacio de fase (los simplectomorfismos hamiltonianos mencionados anteriormente).

Como tal, el grupo de cuantomorfismos actúa naturalmente en el espacio de secciones de L. Tal sección es como una función de onda, excepto que depende de todo el espacio de fase, en lugar de solo en las "coordenadas canónicas". Por razones matemáticas puramente abstractas (que no discutiremos aquí, pero veamos en cuantización motívica para más) es natural elegir una "polarización" del espacio de fase en coordenadas canónicas y momentos canónicos y considerar solo esas secciones de la línea precuántica paquete que dependen sólo de la primera. Estas son las funciones de onda reales de la mecánica cuántica, de ahí los estados cuánticos. Y el subgrupo del grupo de cuantomorfismos que conserva estas secciones polarizadas es el grupo de observables cuánticos exponenciados. Por ejemplo, en el caso simple mencionado anteriormente donde (X, ω) es el espacio vectorial simpléctico bidimensional,

Convierto mis comentarios en una respuesta:

En mi opinión, su confusión surge porque asume que la Mecánica Clásica es el marco subyacente de la física, o al menos la herramienta necesaria para describir la naturaleza. Las personas cercanas a los resultados experimentales entienden que son los resultados experimentales los que requieren de las herramientas necesarias para describir las medidas, formular una teoría y predecir nuevas medidas, no tienen este problema. La respuesta de @MichaelBrown está cerca de lo que quiero decir. Es la Mecánica Clásica la que deriva de la Mecánica Cuántica y no al revés. La Mecánica Clásica surge de la Mecánica Cuántica y no al revés

Un ejemplo: pensemos en el cuerpo humano antes del descubrimiento del microscopio. Había una visión "clásica" de lo que era un cuerpo. Los experimentos solo pudieron ver y describir efectos macroscópicos. Cuando se descubrió el microscopio, la teoría de las células que constituyen el cuerpo humano y las funciones complejas que operan en él se convirtieron, por supuesto, en el marco subyacente, y el antiguo marco en un caso límite de esto.

Que las teorías de la física utilicen las matemáticas como herramientas es lo que te confunde, porque las matemáticas son muy elegantes. Pero es la estructura física lo que estamos explorando y no la elegancia matemática.

Hay un mito griego antiguo relevante, el de Procrustis :

tenía una cama de hierro, en la que invitaba a todos los transeúntes a pasar la noche, y donde se ponía a trabajarlas con su martillo de herrero, para estirarlas a medida. En relatos posteriores, si el invitado resultaba demasiado alto, Procusto amputaba el exceso de longitud.

Si tratamos de imponer las matemáticas de la mecánica clásica a los datos microscópicos estamos utilizando la lógica de Procrustis, tratando de ajustar los datos a la cama y no encontrar la cama que se ajuste a los datos.

En cuanto al punto b) :

La mecánica cuántica se puede formular extremando una acción y utilizando la teoría de Hamilton-Lagrange-Jacobi.

Este es un hecho simple pero ciertamente subestimado: la ecuación de Schrödinger define un flujo hamiltoniano en un espacio proyectivo complejo. Una exposición rápida de este hecho se publicó una vez aquí:

• Scott Morrison, Mecánica cuántica y geometría , noviembre de 2009 ( publicación web )

Más detalles sobre esto están en

• Abhay Ashtekar, Troy A. Schilling, Formulación geométrica de la mecánica cuántica ( arXiv:gr-qc/9706069 )

y

• LP Hughston, Geometry of Stochastic State Vector Reduction , Actas de la Royal Society ( web )

Creo que el hecho de que , de hecho, la mecánica cuántica se pueda formular como un extremo langrangiano (como casi cualquier ecuación diferencial, simplemente invierta el proceso de la ecuación diferencial y el teorema de Euler-Lagrange) ya está bien respondido.

Otra faceta del proceso de "cuantificación" es esta:

¿Cómo podemos tomar una relación/ecuación "estática" y transformarla en un proceso?

¿Difícil? Piensa en me gusta esto: ¿Cómo podemos encontrar la solución a esta ecuación: F(x) = x?

si la resolución directa es difícil, siempre se puede usar la ecuación como un "proceso" (suponiendo que la función f() sea "Lipschich")

1. empezar desde un inicial x1
2. calcular x2 = f(x1)
3. ir a 1 hasta x1-x2 < épsilon

Esto convirtió la ecuación en un proceso/algoritmo, ¿cómo se relaciona esto con la mecánica cuántica y la cuantización?

Bueno, la mecánica cuántica hace precisamente esto (en gran medida). Toma un euqaton "clásico" y convierte las "variables estáticas" en "operadores" (procesos)

Así que esta parte de la pregunta puede tener esta respuesta.

Una pregunta más interesante es ¿por qué funciona esto (de hecho, solo para ciertas opciones de sistemas de coordenadas)?

¿Cómo lo pensaron ellos (los pioneros de la mecánica cuántica), es porque conserva las mismas relaciones "clásicas" (probablemente)?

¿Puede esto generalizarse o reformularse en algo menos confuso?

PD Para un análisis más detallado de la mecánica cuántica y sus relaciones con otros procesos, consulte también esta otra publicación mía https://math.stackexchange.com/a/782596/139391

En mecánica clásica, las soluciones de las ecuaciones de movimiento son la trayectoria determinista del sistema. En mecánica cuántica si$\Psi$es la solución de la MOE entonces$\int _a^b\Psi^*(x)\Psi(x)dx$es la probabilidad de encontrar la partícula entre$a$y$b$. Para tener QM, debe complementar el EOM con esto (y la hermicidad de los observables).

Parece que la derivación original de Schrödinger fue la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, y en su artículo no menciona la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. Por lo tanto, hasta donde puedo ver, este proceso no se aplica a la versión dependiente del tiempo y el problema aparentemente es insoluble :( Aquí se brinda una buena discusión de esto .

Editar: ya no estoy seguro de que esto sea correcto, ese artículo al que me he vinculado ha hecho que mi pregunta sea inmensamente más complicada. El artículo asume la derivación de Schrodinger como válida, y deriva el SE dependiente del tiempo de ella, por lo que aparentemente todas las razones por las que uno debe asumir axiomas, etc. están justificadas por esa derivación, o son redundantes. No tengo idea, esto es ahora el foco central de mi hilo parece.