¿Podemos cuantificar la física aristotélica?

Estoy reescribiendo esta respuesta después de una agradable discusión en el chat con el usuario 23660. Lo siguiente es lo que saqué de nuestra discusión y no representa necesariamente la interpretación del usuario 23660. La respuesta tl; dr es que no creo que haya ninguna forma de cuantificar este sistema que ofrece resultados no triviales mientras se preserva el QM estándar: terminamos con violaciones de los axiomas básicos de QM o con un sistema trivial sin dinámica. y sin procesos de medición.

Sólo voy a analizar el caso unidimensional. Creo que la idea importante se obtiene al considerar los ceros de la función$p$, es decir, los puntos$x_0$dónde$p(x_0)=0$. Estos son los lugares donde las partículas pueden existir en equilibrio. También son lugares posibles para colisiones, si$p$cruza de positivo a negativo allí.

Tenemos dos posibilidades lógicas: (1) La función$p(x)$siempre está restringida a ser una función suave, y cuando cruza cero, nunca tiene una derivada nula. (2) No se aplica tal restricción a$p$.

(1) En este caso, tenemos$p\approx\alpha (x-x_0)$por$x$lo suficientemente cerca de$x_0$, con$\alpha\ne0$. El caso interesante, donde$p$cruza de positivo a negativo, es$\alpha<0$. El movimiento clásico es un enfoque asintótico de$x_0$de cualquier lado. Esto significa que el universo se divide en dos partes, cada una de las cuales no se puede observar desde el otro lado. No es posible que las partículas se acerquen$x_0$de los dos lados para chocar entre sí, ya que tardarían un tiempo infinito en llegar al punto de colisión. Dado que las colisiones son imposibles, los procesos de medición también son imposibles: no puede hacer que su aparato de medición toque el objeto que está tratando de observar. Tampoco existe una noción mensurable del tiempo, ya que la inexistencia del movimiento periódico hace imposible construir un reloj. Dado que los relojes y las reglas son imposibles, podemos cambiar la escala de las coordenadas arbitrariamente de la forma que deseemos. Dado que las colisiones son imposibles, no hay dinámica en absoluto.

Como una forma de simplificar el sistema, considere que podemos hacer cualquier cambio de coordenadas uno a uno suave$x\rightarrow u(x)$,$p\rightarrow p^*=(du/dx)p$. Dado que no hay relojes ni observables, este cambio de coordenadas es solo un reetiquetado, y no hay forma de saber si$x$o$u$era el sistema de coordenadas más natural. En general, si tenemos cualquier función continua$p$, podemos tomar cualquier región donde$p\ne0$y definir una coordenada "especial"$u=\int dx/p$. El problema se transforma en uno en el que las partículas siempre se mueven hacia la derecha con velocidad 1.

La respuesta de User23660 analiza cómo cuantificar este sistema. El sistema cuantificado no tiene posibilidad de dispersión, absorción o emisión, por lo que no hay noción de medida. Aunque creo que el análisis de user23660 es correcto, me parece que una teoría de la mecánica cuántica sin tiempo, observables o dinámica no es muy interesante. Como atajo para cuantificar este sistema, podemos cambiar a las coordenadas especiales. Dado que en estas coordenadas la única velocidad posible es 1, las soluciones a la ecuación de onda deben ser simplemente$\Psi_u=f(u-t)$, dónde$f$es una función arbitraria. Si volvemos a transformarnos en$x$coordenadas, entonces$\Psi_u\rightarrow\Psi_x$tiene que recoger un factor de normalización adicional dependiente del tiempo si quiere preservar la conservación de la probabilidad.

Originalmente simplifiqué demasiado al decir que el movimiento en el caso #1 era disipativo en el sentido del teorema de Liouville. Esto no es del todo correcto, ya que solo podemos expresar estas nociones en un espacio donde tenemos medida. Debido a que las coordenadas de tiempo y espacio no se pueden medir, siempre podemos arreglar la conservación de la probabilidad simplemente agregando factores de normalización arbitrarios dependientes del tiempo.

(2) Si no hay restricción sobre$p$, entonces en el sistema clásico es posible tener puntos de equilibrio que las partículas pueden alcanzar en un tiempo finito. Es posible que tengamos colisiones y dinámicas no triviales. El movimiento puede ser disipativo en el sentido de que si una partícula alcanza un punto de equilibrio, se pierde toda la información sobre su movimiento pasado. También debería ser posible tener soluciones acausales a la cúpula de Norton . Explícitamente, si dejamos$p=|x|^{3/4}$, entonces la solución es$x=0$o cualquier cosa de la forma$x=\pm (4^{-4})(t-t_0)^4$, así, por ejemplo, una partícula podría entrar desde la izquierda, luego permanecer en el origen durante un tiempo y luego, en un momento indeterminado, volver a despegar hacia la derecha. Entonces, en general, las partículas pueden colisionar, permanecer fusionadas durante un período de tiempo impredecible y luego volver a emerger de la colisión.

En la cuantización, esperamos que esta no conservación de la información se manifieste como una violación de la unitaridad. Esto parece aparecer en el análisis de user23660, en el que el sistema cuantificado tiene funciones de onda de valor real. Si las funciones de onda tienen valores reales y podemos tener colisiones, entonces tenemos que renunciar al menos a uno de los siguientes: unitaridad, linealidad o la regla de Born. De lo contrario, un pulso positivo chocando con un pulso negativo se superpondría y sufriría una interferencia destructiva, violando la unitaridad. Pero de todos modos, no está claro que el análisis de user23660 realmente nos diga algo sobre el caso #2, ya que el análisis hace suposiciones sobre el comportamiento de$p$.

Podemos cuantizar la mecánica aristotélica y , tras la discusión, Ben Crowell también parece estar de acuerdo en este punto.

Breve resumen: para cuantizar el sistema gobernado por la mecánica aristotélica extendemos su espacio de configuración con momentos conjugados canónicamente y luego realizamos la cuantización canónica ordinaria. El sistema cuántico resultante exhibe un comportamiento algo aburrido y, dependiendo de la elección del campo de fuerza, podría tener algunos problemas serios.

Un ejemplo de la mecánica aristotélica es el movimiento de un objeto en un fluido muy viscoso donde podemos despreciar las fuerzas de inercia: el flujo de Stokes (o progresivo) . Dado que la fuerza de arrastre viscoso$\mathbf{F}_\text{drag}$es proporcional a la velocidad de un objeto, la aplicación de una fuerza externa$\mathbf{F}_\text{ext}$daría como resultado rápidamente (en una escala de tiempo determinada por las fuerzas de inercia: cuanto más pequeñas son, más rápido sucede) daría como resultado un movimiento donde$\mathbf{F}_\text{ext}= - \mathbf{F}_\text{drag}$. Esto significa que la ecuación de movimiento resultante es

Este modelo, por cierto, también establece la relevancia de la mecánica aristotélica en campos como la micro y nanofluídica.

Entonces, la cuantización de la mecánica aristotélica podría hacerse dentro del marco de la cuantización de los sistemas disipativos, que es una teoría bien establecida.

Por ejemplo, este papel

Tarasov, Vasily E. "Cuantización de sistemas no hamiltonianos y disipativos". física Letón. A 288.3 (2001): 173-182. (arxiv:quant-ph/0311159)

da el siguiente resumen de los enfoques del problema:

Podemos dividir los métodos más frecuentes de cuantización de sistemas disipativos y no hamiltonianos en dos grupos. El primer método utiliza un procedimiento de duplicación de la dimensión del espacio de fase [6]-[8]. El segundo método consiste en utilizar un hamiltoniano explícitamente dependiente del tiempo [9]-[16].

Bateman ha demostrado [6] que para utilizar los métodos habituales de cuantificación canónica se requiere un procedimiento de duplicación de la dimensión del espacio de fase. Para aplicar el esquema de cuantización canónica habitual a los sistemas disipativos y no hamiltonianos, se puede duplicar el número de grados de libertad, para tratar con un sistema aislado efectivo. Se puede suponer que los nuevos grados de libertad representan los grados de libertad colectivos del baño que absorben la energía disipada por el sistema disipativo [7, 8].

El artículo de Bateman de 1931 citado

Batman, Harry. "Sobre sistemas disipativos y principios variacionales relacionados". Revisión física 38.4 (1931): 815. (doi: 10.1103/PhysRev.38.815)

también afirma:

En un artículo reciente, PS Bauer afirmó que un conjunto disipativo lineal de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes no puede derivarse de un principio variacional. Esto solo es cierto si se requiere que el principio variacional no proporcione ecuaciones adicionales. Ahora bien, un sistema disipativo es físicamente incompleto y, por lo tanto, se esperan ecuaciones adicionales cuando se intenta derivar las ecuaciones definitorias a partir de un principio variacional. Debemos buscar, entonces, un conjunto complementario de ecuaciones.

Dado que la ecuación (1) es de primer orden, podríamos intentar buscar la extensión mínima del espacio de configuración con un conjunto de variables de momento. Con la mente puesta en la cuantización canónica, tratamos de encontrar un hamiltoniano que produzca la ecuación (1) como una de las ecuaciones canónicas.

Es sorprendentemente fácil: el hamiltoniano requerido es:

Entonces, simplemente podríamos considerar el hamiltoniano (2) como correspondiente a la mecánica aristotélica y usar una cuantización canónica, que en la representación de coordenadas nos da la ecuación de Schrödinger:

Para ilustrar, consideremos un par de casos especiales de campo de fuerza para sistemas 1D:

1. fuerza constante$F = b$. esto nos da$\Psi = f(x-\alpha\, b\, t),$es decir, impulso propagándose con velocidad constante en el$x$-dirección. Obsérvese la ausencia de dispersión.

2. Resorte elástico$F = - x$. Aquí, la solución general sería$\Psi = f(y+\alpha t) \cdot \exp(\frac{\alpha \,t}2)$, dónde$y = \ln x$.

Incluso a partir de estos dos ejemplos simples, podríamos concluir que la dinámica de estos sistemas cuantificados es menos interesante que la QM ordinaria. En particular, vemos que no hay interferencia cuántica: el experimento de la doble rendija en la mecánica cuántica aristotélica sería muy aburrido. Esto, por supuesto, está determinado por el sistema clásico subyacente: dado que tenemos un flujo simple en el espacio de configuración, la cuantificación no agregará mucho.

Adición _ Recientemente, la pregunta 'Un operador "hermitiano" con valores propios imaginarios' (y la respuesta de Emilio Pisanty) destacó el tipo de problemas que podemos encontrar en la mecánica cuántica aristotélica. Específicamente, el hamiltoniano del 'problema' es del tipo definido por la ecuación (2). Los problemas también se mencionaron en la respuesta de Ben Crowell a esta pregunta, el más serio de los cuales es la probabilidad no conservada. De hecho, para algunos campos de fuerza bastante simples no pudimos construir un operador hamiltoniano autoadjunto. Pero como el papel

Síntomas clásicos de las enfermedades cuánticas. Chengjun Zhu y John R. Klauder. Soy. J. física. 61 núm. 7, 605 (1993) doi:10.1119/1.17221 .

mostrado, estos problemas tienen raíces en la dinámica clásica. Entonces, para obtener un sistema cuántico razonable, debemos asegurar un buen comportamiento del sistema clásico subyacente. En particular, podríamos exigir que existan soluciones clásicas para todos los valores de tiempo y que no se encuentren singularidades en tiempo finito. Esto podría restringir los campos permitidos pero da como resultado una versión cuántica correcta.

Eugene Wigner discutió la cuantización de la física aristotélica en el artículo muy breve Leyes de conservación en la física clásica y cuántica . Puede cuantificar la teoría, pero no hay una forma obvia en la que la versión cuantificada sea físicamente distinta de la versión clásica.