Cuantificación canónica de lagrangianos dependientes del tiempo

tengo un lagrangiano

que no es degenerado, cuadrático en los campos y contiene una dependencia explícita del parámetro de evolución$t$.

Si$L$fuera independiente del tiempo, seguiría el siguiente algoritmo para deducir la teoría cuántica:

1. Defina los momentos canónicos como$p_a = \partial L / \partial \dot{x}^{a}$y el espacio fase como límite descompactado de las variedades simplécticas con la forma simpléctica canónica dada por$\left\{ x^{a}, p_{b} \right\} = \delta^{a}_{b}$.
2. Encuentra una combinación lineal$a^{a} = \alpha x^{a} + \beta p^{a}$tal que$\left\{a^{a}, a^{*\,b}\right\} = (i \hbar)^{-1} \delta^a_b.$
3. Promover$a$y$a^{*}$a los operadores$\hat{a}$y$\hat{a}^{\dagger}$y definir$\left|0 \right>$como un elemento del espacio de Hilbert aniquilado por todos$\hat{a}$.
4. Construir la representación directa de$\hat{a}$,$\hat{a}^{\dagger}$en$\mathcal{H}$utilizando la relación de conmutación$[\hat{a}, \hat{a}^{\dagger}] = 1$y reinterpretar$\hat{a}$,$\hat{a}^{\dagger}$como operadores de aniquilación y creación.
5. Para cualquier observable clásico, use el mapa de cuantización de Weyl para asignarle un operador. Porque$a$y$a^{*}$son lineales en$x$y$p$, el mapa de cuantización de Weyl asegura que se mantenga la misma relación para los operadores, demostrando así la consistencia del esquema de cuantización. Vuelva a expresar todos los operadores resultantes en términos de$\hat{a}$y$\hat{a}^{\dagger}$obtener su representación explícita en$\mathcal{H}$.

Eso funciona bien para cuadráticos no degenerados en$x$,$\dot{x}$lagrangianos sin explícito$t$dependencia.

Quiero saber cómo cambia la receta anterior (o si es posible usarla) cuando$L$contiene una dependencia temporal explícita. Para simplificar, supongamos que todavía no es degenerado y cuadrático en$x$,$\dot{x}$.