Cuantificación de la helicidad de partículas sin masa.

El camino trazado por una rotación por$4\pi$se puede encoger hasta un punto en$\mathrm{SO}(3)$porque tal rotación corresponde a una curva cerrada en la doble cubierta$\mathrm{SU}(2)\cong S^3$, que es simplemente conexo y, por lo tanto, cualquier curva cerrada en él puede reducirse a un punto. Las curvas que se pueden contraer en la cubierta también se pueden contraer en la base ya que los mapas de cobertura son inyectivos en los grupos fundamentales. Contraste esto con una rotación por$2\pi$, En cual$S^3$es un camino entre dos puntos antípodas, por lo tanto, no está cerrado y no puede reducirse. Esto funciona de la misma manera para el grupo de Lorentz.$\mathrm{SO}(1,3)$y su funda universal (doble)$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$.

La helicidad es diferente del momento angular porque el álgebra del momento angular es el álgebra de Lie del pequeño grupo masivo$\mathrm{SO}(3)$, mientras que la helicidad es para partículas sin masa y, por lo tanto, debe estar relacionada con el pequeño grupo sin masa, que es un grupo denotado de diversas formas como$\mathrm{ISO}(2),\mathrm{SE}(2)$o similar: es el grupo de simetría del espacio euclidiano afín bidimensional, por lo tanto, consiste esencialmente en$\mathrm{SO}(2)$junto con traslaciones bidimensionales. Dado que las representaciones de traslaciones son triviales, la cuestión de las representaciones del pequeño grupo sin masa se reduce esencialmente a la teoría de la representación de$\mathrm{SO}(2)\cong\mathrm{U}(1)$.

Esta teoría de la representación se puede determinar algebraicamente y se llega a valores cuantificados para la helicidad, pero esto no se puede hacer con el enfoque habitual de los físicos de representar el álgebra de Lie, el álgebra de Lie de$\mathrm{SO}(2)$es simplemente el álgebra de mentira trivial$\mathbb{R}$, y no aparecen condiciones de cuantización en su teoría de representación; la cuantización en cambio proviene de la estructura global de$\mathrm{SO}(2)\cong\mathrm{U}(1)\cong S^1$y el hecho de que las posibles representaciones unitarias irreducibles deben ser unidimensionales, por lo tanto completamente clasificadas por mapas de representación$\mathrm{U}(1)\to\mathrm{U}(1)$, desde$\mathrm{U}(1)$es el grupo unitario de un espacio de Hilbert unidimensional.

Es fácil ver que tales mapas$\rho_n : \mathrm{U}(1)\to\mathrm{U}(1), \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\mapsto\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\phi}$se clasifican simplemente por la frecuencia con la que dan cuerda$S^1$alrededor de sí mismo, es decir, por los números enteros$n\in\mathbb{Z}$.

Entonces, ¿cómo se relaciona esta helicidad con$4\pi$rotaciones? El generador de este$\mathrm{U}(1)\subset\mathbb{R}^4\rtimes\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$(el rhs es la cubierta universal del grupo de Poincaré) es físicamente la proyección del espín sobre el impulso,$S\cdot p$(La forma exacta en que resuelvas esto depende de cómo determinaste exactamente que el pequeño grupo de la partícula sin masa es$\mathrm{SE}(2)$). Así que un completo$4\pi$rotación alrededor$p$actúa como$\rho_n(1) = \rho_n(\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}})$en nuestra partícula sin masa: