¿Fase no trivial para la representación proyectiva SO(3)SO(3)SO(3)? Conectividad simple y su relación con el cociclo.

Si lo entiendo correctamente, entonces esto a su vez implica, todas las fases$\Phi(g_1,g_2)$de$SO(3)$la representación no satisface la relación (2) y, por lo tanto, no puede reducirse a una representación ordinaria definiendo algo como (3).

Implica que para esa representación proyectiva de$SO(3)$, no puedes encontrar una función$\alpha$de modo que (2) se cumple para todos$g_1, g_2$.

¿Podemos escribir la fase?$\Phi(g_1,g_2)$para un proyectivo$SO(3)$representación, es decir, en función de$g_1$y$g_2$(cualquiera de las dos$SO(3)$elementos del grupo)?

Por supuesto, si conoce la representación proyectiva (explícitamente), puede leer la fase. Tomemos por ejemplo la representación espinorial de$SO(3)$. Dejar$R_\pi$Sea una rotación de 180 grados,$R_\pi R_\pi = 1$. Como la conocemos,

¿Cuál es la relación entre la conexión simple de un grupo y la fase$\Phi(g_1,g_2)$. En particular, ¿cuál es la conexión entre los caminos en una variedad de grupo y las fases$\Phi(g_1,g_2)$.

Primero, déjame exponer la versión completa del teorema que estabas citando en tu pregunta: las representaciones proyectivas no triviales pueden surgir exactamente de dos maneras.

1. Algebraicamente, si la carga central del álgebra de Lie no se puede eliminar. (No voy a entrar más en esto).
2. Geométricamente, si el grupo no está simplemente conectado.

En otras palabras, si se puede quitar la carga central y simplemente se conecta el grupo, todas las fases posibles$\Phi(g_1,g_2)$están en el cociclo trivial de dos.

Y para responder a su pregunta, podemos hacer que la declaración sea un poco más precisa: si se puede eliminar la carga central, entonces el conjunto de fases posibles (hasta dos cociclos triviales) es igual al grupo fundamental del grupo de Lie.

¿Por qué si dos caminos se deforman continuamente entre sí o los bucles cerrados se pueden contraer continuamente hasta un punto , entonces$\Phi$siempre satisface (2) y si no,$\Phi$no puede satisfacer (2)? Si es posible, no utilice demasiadas jergas técnicas porque acabo de empezar a aprender estas cosas por mi cuenta.

Weinberg (The Quantum Theory of Fields, Vol 1) dedica un capítulo completo (2, Apéndice B) a esta demostración. Al final, todo se reduce al lema de Poincaré: en un espacio simplemente conexo, si un campo vectorial$v$satisface$\partial_b v_a = \partial_a v_b$, entonces se puede escribir como el gradiente de algún potencial:$v_a = \partial_a \varphi$. Con una elección adecuada (ver Weinberg) de$v$, esto nos permite probar el enunciado.

1. Si presentas las rotaciones como ángulos de Euler$(\alpha,\beta,\gamma)$, la fase$\phi$es la función que da$1$siempre que la composición (ingenua) de las dos rotaciones no exceda$2\pi$en cualquier ángulo y$-1$por cada ángulo que exceda$2\pi$. Tenga en cuenta que esta es una función claramente discontinua.

2. Discuto esto en la última sección de esta respuesta mía . El resultado es que si$G$no está simplemente conectado, tiene un grupo de cobertura universal$\tilde{G}$que es una extensión central de$G$por$\pi_1(G)$. Representaciones unitarias$\tilde{\rho} : \tilde{G}\to \mathrm{U}(\mathcal{H})$de extensiones centrales siempre descienden a representaciones proyectivas$\rho : G\to\mathrm{PU}(\mathcal{H})$del grupo original ya que la parte central tiene que ser mapeada en el centro$\mathrm{U}(1)\subset\mathrm{U}(\mathcal{H})$, y por lo tanto se vuelve trivial al pasar al cociente$\mathrm{PU}(\mathcal{H})$, ya que todas las preimágenes$\pi^{-1}(g)$de un elemento$g\in G$bajo la proyección$\pi:\tilde{G}\to G$ser mapeado al mismo punto en$\mathrm{PU}(\mathcal{H})$, entonces$\rho = \tilde{\rho}\circ\pi^{-1}$está bien definido.

3. Esto no tiene que ver realmente con los caminos como tales, sino con la teoría general de los revestimientos . Un espacio topológico suficientemente agradable$G$siempre tiene una cobertura universal$\tilde{G}$que se encuentra en una secuencia exacta$\pi_1(G)\to \tilde{G} \to G$, si$G$es un grupo de mentira,$\pi_1(G)$es abeliano y su imagen es central en$\tilde{G}$, por lo que la cubierta universal es una extensión central. Por el contrario, dada una extensión central$\mathbb{Z}_n\to\tilde{G}\to G$, tenemos eso$\tilde{G}\to G$es una cubierta, y la clasificación general de cubiertas dice que tales cubiertas están en biyección a subgrupos de$\pi_1(G)$. Así que si$G$es simplemente conexa, no tiene tales extensiones centrales discretas, y si no lo es, hay una cubierta universal cuyas representaciones lineales son las mismas que$G$representaciones proyectivas de si no hay extensiones centrales suaves por$\mathrm{U}(1)$(es decir, no hay cociclos continuos no triviales).

   Tenga en cuenta que la afirmación que solicita, es decir, "Si$G$es simplemente conexo, entonces$\phi$es trivial (satisface su ecuación 2)" es falso: incluso los grupos simplemente conectados pueden tener cociclos no triviales (extensiones centrales equivalentemente no triviales), simplemente no pueden tener extensiones centrales discretas o cociclos discontinuos equivalentes. Sin embargo, la física la literatura generalmente ignora esto hasta que se vuelve relevante (por ejemplo, para el álgebra/grupo de Virasoro) ya que los grupos de Lie semi-simples con los que generalmente tratamos tienen$H^2(G,\mathrm{U}(1)) = 0$para el grupo de cociclos suaves módulo relaciones cofronteras por el segundo lema de Whitehead.