¿Es SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)\veces U(1) = U(2)?

Question

¿Es SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)\veces U(1) = U(2)?

Física
topología
mentira-álgebra
teoría de grupos
física-matemática
representaciones de grupo

phy_math

En los muchos libros de texto del Modelo Estándar, encuentro la relación

\begin{aligned} S tu (2)_{L} \times tu (1)_{L} = tu (2)_{L} . \end{aligned}

$\begin{align} SU(2)_L \times U(1)_L = U(2)_L. \end{align}$ Aquí el subíndice

L

$L$ significa el lado izquierdo (es decir, la quiralidad de los fermiones). ¿Es cierta la relación anterior en el caso general? es decir, es

\begin{aligned} S tu (2) \times tu (1) = tu (2) ? \end{aligned}

$\begin{align} SU(2) \times U(1) = U(2)\ ? \end{align}$

gj255

Tengo entendido que los subíndices de estos grupos son simplemente etiquetas para recordarnos los objetos sobre los que actúan. Entonces escribimos

S U (3)_{C}

$SU(3)_C$ o

S U (3)_{F}

$SU(3)_F$ dependiendo de si estamos considerando el grupo

S U (3)

$SU(3)$ estar actuando sobre el triplete de estados de color de un quark, o el triplete de sabor (arriba, abajo, extraño). Es precisamente el mismo grupo en ambos casos. Por lo tanto, eliminar las etiquetas es completamente legítimo. Al menos, creo. También diría que estoy bastante seguro de que el isomorfismo es de hecho

S tu (2) \times tu (1) = tu (2) \times Z_{2}

$SU(2) \times U(1) = U(2) \times Z_2$ Tal vez alguien podría explicar por qué los libros a menudo dejan caer el

Z_{2}

$Z_2$ ?

qmecanico

Pregunta matemática.SE relacionada: math.stackexchange.com/q/1111766/11127

Juan Báez

@ gj255 - no es cierto que

S U (2) \times U (1)

$\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)$ es isomorfo a

U (2) \times Z_{2}

$\mathrm{U}(2) \times \mathbb{Z}_2$ . La forma más fácil de ver esto es notar que

S U (2) \times U (1)

$\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)$ está conectado, mientras

U (2) \times Z_{2}

$\mathrm{U}(2) \times \mathbb{Z}_2$ tiene dos componentes conectados.

Respuestas (1)

¿Es SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)\veces U(1) = U(2)?

Tengo entendido que los subíndices de estos grupos son simplemente etiquetas para recordarnos los objetos sobre los que actúan. Entonces escribimos $SU(3)_C$ o $SU(3)_F$ dependiendo de si estamos considerando el grupo $SU(3)$ estar actuando sobre el triplete de estados de color de un quark, o el triplete de sabor (arriba, abajo, extraño). Es precisamente el mismo grupo en ambos casos. Por lo tanto, eliminar las etiquetas es completamente legítimo. Al menos, creo. También diría que estoy bastante seguro de que el isomorfismo es de hecho $S tu (2) \times tu (1) = tu (2) \times Z_{2}$ $SU(2) \times U(1) = U(2) \times Z_2$ Tal vez alguien podría explicar por qué los libros a menudo dejan caer el $Z_2$ ?
Pregunta matemática.SE relacionada: math.stackexchange.com/q/1111766/11127
@ gj255 - no es cierto que $\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)$ es isomorfo a $\mathrm{U}(2) \times \mathbb{Z}_2$ . La forma más fácil de ver esto es notar que $\mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)$ está conectado, mientras $\mathrm{U}(2) \times \mathbb{Z}_2$ tiene dos componentes conectados.

qmecanico · Answer 1

El isomorfismo del grupo de Lie relevante dice

$\begin{matrix} (1a) & \begin{aligned} tu (2) ≅ & [tu (1) \times S tu (2)] / Z_{2}, \\ Z (S tu (2)) ≅ & Z_{2} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} U(2)~\cong~&[U(1)\times SU(2)]/\mathbb{Z}_2, \cr Z(SU(2))~\cong~&\mathbb{Z}_2.\end{align}\tag{1a}$

En detalle, el isomorfismo del grupo de Lie (1a) viene dado por
$tu (2) ∋ gramo \mapsto$ $U(2)~\ni~ g\quad\mapsto\quad$ $(\sqrt{det gramo}, \frac{gramo}{\sqrt{det gramo}}) \sim (- \sqrt{det gramo}, - \frac{gramo}{\sqrt{det gramo}})$ $\left(\sqrt{\det g}, ~\frac{g}{\sqrt{\det g}}\right) ~\sim~ \left(-\sqrt{\det g}, ~-\frac{g}{\sqrt{\det g}}\right)$ $\begin{matrix} (1b) & \in [tu (1) \times S tu (2)] / Z_{2} . \end{matrix}$ $~\in ~[U(1)\times SU(2)]/\mathbb{Z}_2.\tag{1b}$ Aquí el $\sim$ símbolo denota un $\mathbb{Z}_2$ -relación de equivalencia. El $\mathbb{Z}_2$ -action resuelve la ambigüedad en la definición de la raíz cuadrada de valor doble.
Parece natural mencionar que el isomorfismo de grupo de Lie (1a) se generaliza de manera directa a grupos genéricos (indefinidos) unitarios ( super )

$\begin{matrix} (2a) & \begin{aligned} tu (pag, q | metro) ≅ & [tu (1) \times S tu (pag, q | metro)] / Z_{| norte - metro |}, \\ Z (S tu (pag, q | metro)) ≅ & Z_{| norte - metro |}, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} U(p,q|m)~\cong~&[U(1)\times SU(p,q|m)]/\mathbb{Z}_{|n-m|}, \cr Z( SU(p,q|m))~\cong~&\mathbb{Z}_{|n-m|},\end{align}\tag{2a}$

dónde
$\begin{matrix} (2b) & \begin{aligned} pag, q, metro \in & {norte}_{0}, \\ norte \equiv pag + q \neq & metro, \\ norte + metro \geq & 1, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} p,q,m~\in~& \mathbb{N}_0, \cr n~\equiv~p+q~\neq~&m, \cr n+m~\geq ~& 1,\end{align}\tag{2b}$ son tres enteros. Tenga en cuenta que el número $n$ de dimensiones bosónicas se supone que es diferente del número $m$ de dimensiones fermiónicas. En detalle, el isomorfismo del grupo de Lie (2a) viene dado por $tu (pag, q | metro) ∋ gramo \mapsto$ $U(p,q|m)~\ni~ g\quad\mapsto\quad$ $(\sqrt[| norte - metro |]{s d mi t gramo}, \frac{gramo}{\sqrt[| norte - metro |]{s d mi t gramo}}) \sim (ω^{k} \sqrt[| norte - metro |]{s d mi t gramo}, \frac{gramo}{ω^{k} \sqrt[| norte - metro |]{s d mi t gramo}})$ $\left(\sqrt[|n-m|]{{\rm sdet} g}, ~\frac{g}{\sqrt[|n-m|]{{\rm sdet} g}}\right) ~\sim~ \left(\omega^k~\sqrt[|n-m|]{{\rm sdet} g}, ~\frac{g}{\omega^k~\sqrt[|n-m|]{{\rm sdet} g}}\right)$ $\begin{matrix} (2c) & \in [tu (1) \times S tu (pag, q | metro)] / Z_{| norte - metro |}, \end{matrix}$ $~\in ~[U(1)\times SU(p,q|m)]/\mathbb{Z}_{|n-m|},\tag{2c}$ dónde $\begin{matrix} (2d) & ω := Exp (\frac{2 π i}{| norte - metro |}) \end{matrix}$ $\omega~:=~\exp\left(\frac{2\pi i}{|n\!-\!m|}\right)\tag{2d}$ es un $|n\!-\!m|$ 'th raíz de la unidad, y $k\in\mathbb{Z}$ .
Curiosamente, en el caso con el mismo número de dimensiones bosónicas y fermiónicas $n=m$ , el centro
$\begin{matrix} (3a) & Z (S tu (pag, q | metro)) ≅ tu (1) \end{matrix}$ $Z( SU(p,q|m))~\cong~U(1) \tag{3a}$ se vuelve continuo! es decir, el $U(1)$ -centro de $U(p,q|m)$ se ha mudado adentro $SU(p,q|m)$ , ¡y la fórmula (2a) ya no se cumple!

Notas para más tarde: Definir elementos diagonales no centrales (!) $D(\lambda):={\rm diag} (\underbrace{\lambda,~\ldots~, \lambda}_{n\text{ bosonic entries}}, \underbrace{\lambda^{-1},~\ldots~, \lambda^{-1}}_{m\text{ fermionic entries}} )$ ; Definir producto semidirecto por $(\mu, g) \ltimes (\nu, h):= (\mu\nu, D(\nu)^{-1}gD(\nu) h)$ ;
Notas para más tarde: $tu (pag, q | metro) ≅ [tu (1) \times S tu (pag, q | metro)] / Z_{| pag + q - metro |} si norte \equiv pag + q \neq metro;$ $U(p,q|m)~\cong~[U(1)\times SU(p,q|m)]/\mathbb{Z}_{|p+q-m|}\quad\text{if}\quad n\equiv p+q\neq m;$ $tu (pag, q | metro) ≅ [tu (1) ⋉ S tu (pag, q | metro)] / Z_{pag + q + metro};$ $U(p,q|m)~\cong~[U(1)\ltimes SU(p,q|m)]/\mathbb{Z}_{p+q+m};$ $GRAMO L (norte | metro; F) ≅ [F^{\times} \times S L (norte | metro; F)] / Z_{| norte - metro |} si norte \neq metro;$ $GL(n|m;\mathbb{F})~\cong~[\mathbb{F}^{\times} \times SL(n|m;\mathbb{F})]/\mathbb{Z}_{|n-m|}\quad\text{if}\quad n\neq m;$ $GRAMO L (norte | metro; F) ≅ [F^{\times} ⋉ S L (norte | metro; F)] / Z_{norte + metro};$ $GL(n|m;\mathbb{F})~\cong~[\mathbb{F}^{\times} \ltimes SL(n|m;\mathbb{F})]/\mathbb{Z}_{n+m};$
Notas para más tarde: $tu (pag, q | metro) ∋ gramo \mapsto$ $U(p,q|m)~\ni~ g\quad\mapsto\quad$ $(\sqrt[norte + metro]{s d mi t gramo}, D {(\sqrt[norte + metro]{s d mi t gramo})}^{- 1} gramo) \sim (ω^{k} \sqrt[norte + metro]{s d mi t gramo}, D {(ω^{k} \sqrt[norte + metro]{s d mi t gramo})}^{- 1} gramo)$ $\left(\sqrt[n+m]{{\rm sdet} g}, ~D\left(\sqrt[n+m]{{\rm sdet} g}\right)^{-1}g\right) \quad\sim\quad\left(\omega^k~\sqrt[n+m]{{\rm sdet} g}, ~D\left(\omega^k~\sqrt[n+m]{{\rm sdet} g}\right)^{-1}g\right)$ $\in [tu (1) ⋉ S tu (pag, q | metro)] / Z_{norte + metro};$ $~\in ~[U(1)\ltimes SU(p,q|m)]/\mathbb{Z}_{n+m};$

¿Es SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)\veces U(1) = U(2)?

phy_math

gj255

qmecanico

Juan Báez

Respuestas (1)

qmecanico

qmecanico

qmecanico

qmecanico

Unicidad de expresión de un elemento del grupo Lie

Teorema de Wigner-Eckart de SU(3)

SU(3)SU(3)\mathrm{SU(3)} descomposición de 3⊗3¯=8⊕13⊗3¯=8⊕1\mathbf{3} \otimes \mathbf{\bar{3}} = \mathbf{8} \oplus \mathbf{1}?

Grupo conforme global en espacio euclidiano 2D

¿Aplicación de un grupo de Lie no matricial?

¿Cómo encuentro los componentes tensoriales de todos los pesos de una representación de SU(3)SU(3)SU(3), por ejemplo, la representación de seis dimensiones (2,0)(2,0)(2,0)?

Reglas de bifurcación para SU(3)SU(3)SU(3)

¿Existe un teorema general que establezca por qué el mapa exponencial del grupo de Lorentz restringido es sobreyectivo?

¿Por qué el grupo Lorentz tiene generadores complejos en tratamientos QFT? [duplicar]

¿Se puede descomponer el álgebra de mentira sl(2,C)sl(2,C)sl(2,\mathbb{C}) en suma directa de dos sl(2,R)sl(2,R)sl(2,\mathbb {R})?