Espacio coset y transitividad

No estoy seguro si solo estoy reiterando su pregunta, así que corríjame si lo estoy.

Mi respuesta es básicamente que cualquier rotación en$SO(n+1)$se puede escribir como una rotación que mueve el polo norte de$S^n$a algún punto nuevo en$S^n$, y luego una rotación sobre este nuevo punto. Las rotaciones sobre el nuevo punto simplemente forman$SO(n)$, entonces$S^n$es lo que obtienes cuando tomas$SO(n+1)$, y dices que solo te importa la posición final del polo norte y no la rotación sobre esa posición final.

Mira la acción de$SO(n+1)$en la esfera$S^n$incrustado en$\mathbb{R}^{n+1}$. Tomemos el polo norte$p \in S^n$y mira la órbita de$p$bajo la acción de$SO(n+1)$. Como la acción es transitiva, sabemos que la órbita es el conjunto$S^n$. Entonces, en su ejemplo de dos esferas, esta afirmación se convierte en que el polo norte$p$se puede llevar a cualquier punto de las dos esferas mediante una rotación.

Ahora considere el estabilizador de$p$. El estabilizador son simplemente rotaciones que mantienen$p$fijado. Estas son rotaciones en un hiperplano ortogonal a$p$. En otras palabras, el estabilizador de$p$es$SO(n)$.

Ahora considere un coset$rSO(n)$, eran$r \in SO(n+1)$. Considere la acción de los elementos de este conjunto en el polo norte. Como el polo norte es invariante bajo$SO(n)$, el conjunto$rSO(n)p$es solo el conjunto$\{rp\}$. Dado que la acción es transitiva, sabemos que las clases laterales se asignan a$S^n$. Por otro lado, si tenemos dos clases laterales diferentes,$r_aSO(n)$y$r_bSO(n)$, ese mapa al mismo punto en$S^n$, entonces$r_ap = r_bp$de modo que$r_a^{-1}r_bp=p$y entonces$r_a^{-1}r_b \in SO(n)$, pero entonces$r_aSO(n) = r_ar_a^{-1}r_bSO(n) = er_bSO(n) = r_bSO(n)$, por lo que las dos clases laterales no son diferentes después de todo. Por lo tanto, hay una biyección entre clases laterales$SO(n+1) / SO(n)$y la esfera$S^n$.

Puedes pensar en un elemento de$SO(n+1)$una coleccion de$(n+1)$vectores ortonormales ordenados$(v_1, \ldots, v_{n+1})$. En tal caso, tenemos que$SO(n)$cabe dentro$SO(n+1)$eligiendo un vector fijo$v \in S^n$, y eligiendo$n$vectores ortonormales en el complemento ortogonal de la recta atravesada por$v$.

No es demasiado difícil imaginar entonces que las clases laterales están en biyección con la elección inicial de$v$, es decir, el espacio lateral es exactamente$S^n$.