¿Por qué los coeficientes de Clebsch-Gordan siempre se pueden elegir reales?

Además, la compacidad de SO(3) es crucial. La compacidad implica que los valores propios de$J_\pm$bajo$J_z$en la representación adjunta ($J_z \circ J_\pm = [J_z,J_\pm]=\pm J_\pm$) debe ser real (para que todos los subgrupos de un parámetro formen bucles cerrados, es necesario que su acción sea unitaria). Dado que los valores propios de los operadores de subida y bajada (que se generalizan a un 'diagrama raíz' para grupos de Lie simples compactos arbitrarios) se utilizan para proyectar representaciones a partir de productos tensoriales exactamente como el procedimiento SO(3) de Clebsch Gordan, los elementos del procedimiento generalizado Las matrices de transición de Clebsch-Gordan deberían ser reales para grupos compactos arbitrarios, con la elección de fase inicial apropiada.

Para los grupos de Lie no compactos, las cosas son más complicadas. Puede tener acciones de grupo no unitarias, por ejemplo, en la acción del grupo de Lorentz en 4 vectores normales, y las representaciones no están limitadas por el requisito de consistencia global (o más bien, el requisito de consistencia global es menor estricto).

He leído varias fuentes y mis propias notas, basadas en Quantum Mechanics de Robinette, página 493 y parece que el hecho de que se toman como reales se supone o se explica como se describe a continuación.

Los coeficientes de transformación$\langle j_1 ,m_1 ; j_2 ,m_2 |j,m; j_1 , j_2\rangle$se conocen como coeficientes de Clebsch-Gordon (CG) (o coeficientes de acoplamiento vectorial).

La matriz de Clebsch-Gordan es unitaria (ya que simplemente transforma un vector de una base a otra) y por convención sus elementos se eligen reales porque la fase de este ket$|j,m; j_1, j_2 \rangle$es arbitrario

Esto se deduce porque los elementos de la matriz de los operadores de escalera$L_\pm$son elegidos para ser reales. Es posible elegir que los CG sean reales siempre que se cumpla esta observación sobre los elementos de la matriz de los operadores de escalera.

Es posible tener CG reales incluso para álgebras no compactas: un ejemplo elemental es$su(1,1)$. Descomponer el producto tensorial de dos irreps en la serie discreta positiva da una suma infinita de irreps en la serie discreta positiva, para la cual los estados básicos se pueden expresar como estados del producto usando el Clebsch real. De nuevo, esto es posible porque los elementos matriciales de los operadores de escalera de$su(1,1)$puede ser elegido para ser real.

En términos generales, la razón "profunda" es la siguiente. Dado que el peso más alto (o más bajo) de un irrep debe eliminarse elevando (o disminuyendo) los operadores, este estado más alto será una combinación lineal real de estados siempre que los operadores ascendentes tengan elementos de matriz reales. Una vez que se construyen los estados más altos, se alcanzan los otros estados en el irrep aplicando operadores de reducción, lo que generará una combinación real de estados si sus elementos de matriz son reales.

Nótese que la fase de los operadores de subida y bajada de$su(2)$o$su(1,1)$no tiene por qué ser real en principio, sino que se elige ser real porque de ello se derivan simplificaciones.