Representación del producto tensorial de SO(3)SO(3)SO(3) en el espacio de Hilbert de partículas con espín SSS

Para una partícula con espín S , el operador de rotación viene dado por

mi i j i θ / ℏ
dónde j i es la componente del momento angular total a lo largo de la dirección del eje de rotación. El momento angular total en sí está dado por
j = L ⊗ I S + I L ⊗ S
aquí I S y I L son los operadores de identidad en S y L espacios, respectivamente. La forma del momento angular total anterior surge del hecho de que la combinación del grado de libertad espacial con el de espín se realiza mediante un producto tensorial entre los espacios respectivos y del álgebra de Lie del grupo de rotación. S O ( 3 ) .

Mi primera pregunta es ¿puedo escribir lo siguiente?

mi i j i θ / ℏ = mi i L i θ / ℏ ⊗ mi i S i θ / ℏ ?
El RHS no es algo que se me ocurrió personalmente, lo encontré en mi libro de texto, pero el autor no se refiere a su relación con el operador de rotación más común que es el LHS.

La segunda pregunta es sobre la representación del grupo de rotación. S O ( 3 ) en este espacio de producto tensorial, lo que finalmente conduce a la RHS de la ecuación anterior para el operador de rotación. Por lo que he leído, un espacio de representación producto tensorial es un producto tensorial entre dos espacios de representación diferentes del mismo grupo, aquí el S O ( 3 ) grupo. El espacio de representación del producto tensorial para una partícula con espín S entonces viene dada por H = Π L ( R ( θ ) ) ⊗ Π S ( R ( θ ) ) , dónde R ( θ ) ∈ S O ( 3 ) . Π L ( R ( θ ) ) es el espacio de representación de S O ( 3 ) en L 2 ( R 3 ) , que es fácil de describir - en este espacio L = r × pag . Mi segunda pregunta es la representación de S O ( 3 ) en el espacio de giro que es C 2 S + 1 . ¿Cómo se ve y cómo describirlo? Estoy perdido aquí porque la representación estándar de S O ( 3 ) es 3 × 3 matriz ortogonal mientras que cualquier operador en C 2 S + 1 debe ser ( 2 S + 1 ) × ( 2 S + 1 ) .

a tu primera pregunta [ L i , S i ] = 0 (sigue directamente de su segunda ecuación), por lo que dividir el exponencial de esta manera está perfectamente bien, solo trátelos como si fueran números regulares.

Respuestas (1)

El problema es que la "representación de giro de S O ( 3 ) " no es una representación de S O ( 3 ) en absoluto, sino una representación de su doble portada S tu ( 2 ) (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Spin_group ). Dado que a veces escribimos representaciones en términos de generadores infinitesimales (en otras palabras, como una representación del álgebra de Lie del grupo de Lie en consideración) y dado que S O ( 3 ) y S tu ( 2 ) son iguales en el nivel infinitesimal (sus álgebras de Lie son las mismas), la distinción entre los grupos no produce ninguna confusión al escribir la representación de espín en términos de generadores infinitesimales del grupo de rotación, que escribiste como j i . Sin embargo, si tratas de exponenciar los generadores infinitesimales S i de cualquiera de las representaciones de espín a una representación de S O ( 3 ) ¡te encontrarás con problemas! En particular, la rotación de 360 ​​grados, que debería ser lo mismo que ninguna rotación, actuará por − 1 en la representación, que no tiene sentido.

En general, no hay razón para esperar S O ( 3 ) tener representaciones interesantes en los espacios vectoriales de dimensión uniforme de las representaciones de espín. De hecho, puede demostrar que cualquier representación de este tipo se descompondrá como una suma directa de representaciones en espacios vectoriales de dimensiones impares. Por ejemplo, cuando s = 1 / 2 , la única representación de S O ( 3 ) en el espacio vectorial bidimensional C 2 es la representación trivial donde cada elemento de S O ( 3 ) actúa por la matriz identidad 2 por 2. Sin embargo, S tu ( 2 ) tiene una representación natural en C 2 , que es la representación de espín.

La cosa es que en mi libro (y probablemente en cualquier otro libro), el autor discute un producto tensorial entre dos representaciones diferentes del mismo grupo. Ahora bien, si considero que una partícula en el espacio euclidiano tiene espín, el operador de rotación (SO(3)) en el espacio de Hilbert correspondiente estará dado por mi i j i θ = mi i L i θ ⊗ mi i S i θ . Una vez más, según mi libro, los dos operadores en el RHS son en realidad dos representaciones diferentes de SO(3), una en L 2 ( R 3 ) y otro en el espacio de giro.
Por cierto, ¿cómo se te ocurrió la representación de SO(3) en C 2 siendo la representación trivial? ¿Es esta definición o algo que uno puede probar?
Lo único que se me ocurre es que la notación mi i S i θ significa la representación exponenciada, que en este caso será una representación de S tu ( 2 ) . La representación habitual mi i L i θ también define una representación de S tu ( 2 ) ya que existe el mapa de doble portada S tu ( 2 ) → S O ( 3 ) . Las representaciones de S O ( 3 ) se puede descomponer en un conjunto directo de representaciones irreductibles, todas las cuales son de dimensiones impares. De hecho, el yo -la representación dimensional proviene de la acción de S O ( 3 ) sobre los armónicos esféricos con valor propio − yo ( yo + 1 ) .
Lo siento, las representaciones irreducibles que menciono arriba son 2 yo + 1 -dimensional.
Representación del producto tensorial de SO(3)SO(3)SO(3) en el espacio de Hilbert de partículas con espín SSS
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