Tiras de Spinors y Möbius

Hice esta pregunta en Math.SE porque pensé que la perspectiva de la teoría de la representación podría ser esclarecedora.

Pero dado que la pregunta fue provocada por una descripción de Spinors que describe el giro de los electrones en las notas del Dr. Tongs donde describió que "uno tiene que caminar alrededor de un electrón dos veces" para que regrese a la misma posición; Pensé que también lo preguntaría aquí.

Considere una cinta de Möbius; dibuje en un lado de él una flecha alineada verticalmente; ahora tómalo para un viaje por la franja; luego, cuando vuelve a la misma posición, ha cambiado de dirección; otra circunnavegación de la franja la devuelve al derecho hacia arriba.

Ahora Spinors debe girarse dos veces para devolverlo a la misma posición.

¿Pueden estas dos imágenes estar conectadas de alguna manera?

También existe este truco del plato y el cinturón ; que pueden o no estar conectados.

En una variedad orientable, para tener espinores uno tiene que encontrar un levantamiento del paquete principal asociado con S O ( norte ) hacia S pag i norte ( norte ) (es decir, estructura de espín). Para el colector no orientable, los marcos ahora se encuentran en O ( norte ) y el problema del levantamiento es O ( norte ) a PAG i norte ± ( norte ) . Se puede demostrar que no hay obstrucción al hacerlo para las superficies 2D de Riemann. Para una discusión amigable con los físicos, puede consultar projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.cmp/1104159727 .
@cheng: ¿una sección de un paquete principal cuyo grupo de estructura es Spin (n) es esencialmente un campo spinor?
Excepto que no podemos tener secciones globales, así que debo calificarla como una sección local.
En esencia, sí, aunque como ya apuntaste no hay apartado. El paquete Spin(n) realmente solo te dice cómo rotar las matrices de Dirac junto con el encuadre local.
¿Cómo se conectan las matrices de Dirac a Spin(n); Simplemente lo considero la cubierta universal del grupo de rotación SO(n), que resulta ser una cubierta doble; ¿Es una coordinación? ¿En el sentido de coordinación de matrices SO(n)?
Más sobre el truco del cinturón: physics.stackexchange.com/q/163642/2451

Respuestas (1)

¿Pueden estas dos imágenes estar conectadas de alguna manera?

Sí, es por eso que el artículo Spinor de Wikipedia presenta una imagen de una tira de Möbius: ingrese la descripción de la imagen aquíimagen GNUFDL de Slawekb, consulte Wikipedia

La tira de Mobius también aparece en el artículo del cinturón de Mathspages Dirac , donde se puede leer que "recuerda a las partículas de espín 1/2 en la mecánica cuántica, ya que dichas partículas deben girarse dos rotaciones completas para restaurarlas a su estado original". . El cinturón de Dirac es tu "truco del cinturón y la placa".

Es posible que desee ver el efecto de Einstein-de Haas que "demuestra que el momento angular de giro es de hecho de la misma naturaleza que el momento angular de los cuerpos giratorios tal como se concibe en la mecánica clásica" . Lea también sobre Goudsmit y el descubrimiento del espín del electrón. El artículo de Leiden está fuera de línea en este momento, pero la oración clave es esta: "Significa que el electrón tiene un espín, que gira" . Si también observa una versión anterior del artículo de Wikipedia Stern-Gerlach, puede detectar la no secuencia que parafrasearé como: el electrón no puede girar como un planeta, por lo que no puede girar en absoluto.. Bueno duh, por supuesto que no gira como un planeta. Es una partícula de espín ½. Es un bispinor . Gira alrededor del eje mayor Y alrededor del eje menor. El AND sirve como multiplicador. Tenga en cuenta que en los orbitales atómicos, los electrones "existen como ondas estacionarias" , y que las ondas estacionarias parecen inmóviles, aunque no lo estén. Podemos difractar electrones. La naturaleza ondulatoria de la materia no está en duda. Entonces, ¿de qué tipo de onda estamos hablando? ¿Uno que se mueve en línea recta en c? Me parece que no.

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