Coeficientes de acoplamiento en SO(4)

Question

Coeficientes de acoplamiento en SO(4)

Física
mentira-álgebra
teoría de grupos
momento angular
representaciones de grupo

okj

Tengo dos ecuaciones (de dos autores distintos) para la descomposición de un coeficiente de acoplamiento de SO(4) (es decir , símbolo 3j de Wigner para SO(4)). En el primero:

{(\begin{array}{ccc} {yo}_{1} & {yo}_{2} & {yo}_{3} \\ ({yo}_{1}^{'}, {norte}_{1}) & ({yo}_{2}^{'}, {norte}_{2}) & ({yo}_{3}^{'}, {norte}_{3}) \end{array})}_{S O (4)} = {(\begin{array}{ccc} {yo}_{1} & {yo}_{2} & {yo}_{3} \\ {yo}_{1}^{'} & {yo}_{2}^{'} & {yo}_{3}^{'} \end{array})}_{(S O (4) : S O (3))} (\begin{array}{ccc} {yo}_{1}^{'} & {yo}_{2}^{'} & {yo}_{3}^{'} \\ {norte}_{1} & {norte}_{2} & {norte}_{3} \end{array})

$\begin{equation} \left( \begin{array}{ccc} l_1 & l_2 & l_3 \\ \left(l'_1, N_1\right) & \left(l'_2, N_2\right) & \left(l'_3, N_3\right) \end{array} \right)_{SO(4)} = \left( \begin{array}{ccc} l_1 & l_2 & l_3 \\ l'_1 & l'_2 & l'_3 \end{array} \right)_{\left(SO(4):SO(3)\right)} \left( \begin{array}{ccc} l'_1 & l'_2 & l'_3 \\ N_1 & N_2 & N_3 \end{array} \right) \end{equation}$

El lado izquierdo es el coeficiente de acoplamiento (Wigner) para SO(4) y el lado derecho tiene un factor isoescalar con la etiqueta $SO(4):SO(3)$ , y un coeficiente de Wigner normal para SO(3).

En la segunda ecuación, el autor factoriza el coeficiente de acoplamiento SO(4) en el producto de dos coeficientes de acoplamiento SO(3) como:

{(\begin{array}{ccc} (X_{1} Y_{1}) & (X_{2} Y_{X}) & (X Y) \\ ({METRO}_{X_{1}} {METRO}_{Y_{1}}) & ({METRO}_{X_{2}} {METRO}_{Y_{2}}) & ({METRO}_{X} {METRO}_{Y}) \end{array})}_{S O (4)} = (\begin{array}{ccc} X_{1} & X_{2} & X \\ {METRO}_{X_{1}} & {METRO}_{X_{2}} & {METRO}_{X} \end{array}) (\begin{array}{ccc} Y_{1} & Y_{2} & Y \\ {METRO}_{Y_{1}} & {METRO}_{Y_{2}} & {METRO}_{Y} \end{array})

$\left(\begin{array}{ccc}\left(X_1Y_1\right)&\left(X_2Y_x\right)&\left(XY\right)\\\left(M_{X_1}M_{Y_1}\right)&\left(M_{X_2}M_{Y_2}\right)&\left(M_XM_Y\right)\end{array}\right)_{SO(4)}=\left(\begin{array}{ccc}X_1&X_2&X\\M_{X_1}&M_{X_2}&M_X\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}Y_1&Y_2&Y\\M_{Y_1}&M_{Y_2}&M_Y\end{array}\right)$

En este caso SO(4) es del producto directo de dos SO(3): $(X_1Y_1)\bigotimes(X_2Y_2)\rightarrow(XY)$

$\bf QUESTION$ : Quiero igualar estas ecuaciones entre sí y resolver el factor isoescalar, pero me confunde el hecho de que el primer autor solo usa un escalar para los argumentos superiores, mientras que el segundo autor usa una tupla. ¿Cómo se equiparan los parámetros de los coeficientes de acoplamiento SO(4)? (por ejemplo, ¿hay alguna manera de obtener $X_1,Y_1$ de $l_1$ ?)

$\bf SUPPLEMENTARY\ INFO$ :

La primera ecuación es la ec. 4.6b de ftp://ftp.physics.uwa.edu.au/pub/Clebsch-Gordan/Papers/SO%28n%29.pdf

La segunda ecuación es la ec. 22 de http://jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v51/i9/p093518_s1

Los parámetros de la segunda ecuación se definen como sigue:

$L_{rs}\equiv-i(x_r\partial_s-x_s\partial_r)$

$J_r\equiv\frac{1}{2}\varepsilon_{rst}L_{st}$ , $N_r\equiv L_{r4}$ , es decir

\begin{array}{ccc} j_{1} = L_{23} & j_{2} = L_{31} & j_{3} = L_{12} \\ {norte}_{1} = L_{14} & {norte}_{2} = L_{24} & {norte}_{3} = L_{34} \end{array}

$\begin{array}{ccc}J_1=L_{23}&J_2=L_{31}&J_3=L_{12}\\N_1=L_{14}&N_2=L_{24}&N_3=L_{34}\end{array}$

$X_k\equiv\frac{1}{2}(J_k+N_k)$
$Y_k\equiv\frac{1}{2}(J_k-N_k)$

$M_X=-X,...,X-1,X$
$M_Y=-Y,...,Y-1,Y$

okj

He notado una cosa que podría ayudar, el autor de eq. 1 establece que "La base canónica establece la representación irreducible simétrica (clase uno)

l = l_{(n)}

$l=l_{(n)}$ para la cadena

S O (n) \supset S O (n - 1) \supset . . . \supset S O (3) \supset S O (2)

$SO(n)\supset SO(n-1)\supset...\supset SO(3)\supset SO(2)$ están etiquetados por el

(n - 2)

$(n-2)$ -tupla

M = (l_{(n - 1)}, N) = (l_{(n - 1)}, . . ., l_{(3)}, m_{(2)})

$M=(l_{(n-1)},N)=(l_{(n-1)},...,l_{(3)},m_{(2)})$ de enteros

l_{(n)} \geq l_{(n - 1)} \geq . . . \geq l_{(3)} \geq | m_{(2)} |

$l_{(n)}\geq l_{(n-1)}\geq ...\geq l_{(3)}\geq |m_{(2)}|$ ". También en su notación aquí creo "SO (n) representación irreducible

l_{(n)} = l

$l_{(n)}=l$ [tiene] SO(n-1) etiquetas irrep

l_{(n - 1)} = l^{'}

$l_{(n-1)}=l'$ ".

qmecanico

El primer enlace ftp no me funciona. El segundo enlace está detrás de un muro de pago. En el futuro, enlace a una página de resumen de arXiv si es posible, por ejemplo, arxiv.org/abs/1006.2875

Respuestas (1)

Coeficientes de acoplamiento en SO(4)

He notado una cosa que podría ayudar, el autor de eq. 1 establece que "La base canónica establece la representación irreducible simétrica (clase uno) $l=l_{(n)}$ para la cadena $SO(n)\supset SO(n-1)\supset...\supset SO(3)\supset SO(2)$ están etiquetados por el $(n-2)$ -tupla $M=(l_{(n-1)},N)=(l_{(n-1)},...,l_{(3)},m_{(2)})$ de enteros $l_{(n)}\geq l_{(n-1)}\geq ...\geq l_{(3)}\geq |m_{(2)}|$ ". También en su notación aquí creo "SO (n) representación irreducible $l_{(n)}=l$ [tiene] SO(n-1) etiquetas irrep $l_{(n-1)}=l'$ ".
El primer enlace ftp no me funciona. El segundo enlace está detrás de un muro de pago. En el futuro, enlace a una página de resumen de arXiv si es posible, por ejemplo, arxiv.org/abs/1006.2875

ZeroTheHero · Answer 1

Su primer conjunto de tipos de LaTeX no funciona, pero no está claro que la ecuación (4.6b) de Alisauskas y la ecuación (22) de Caprio sean cálculos realizados con el mismo conjunto de estados construidos con las mismas cadenas de subgrupos.

Para ser precisos: Caprio et al usan dos copias de $SO(3)$ , es decir , el $SO(3)\otimes SO(3)$ cadena de subgrupos - y por lo tanto estados etiquetados por $\vert L_X,M_X;L_Y,M_Y\rangle$ , mientras que Alisauskas utiliza un único $SO(3)$ - con estados etiquetados (presumiblemente) como $\vert (l_2,0);LM\rangle$ . Por lo tanto, es muy probable que la tecnología de CG y los CG reducidos resultantes sean diferentes.

Además, parece que la expresión de Alisauskas se limita a irreps de simetría total, es decir, irreps del tipo $(l_n,0,\ldots,0)$ de $SO(2n)$ - por lo tanto, la $0$ en $(l_2,0)$ en mi etiquetado de sus estados, por lo que es aún más improbable que los dos resultados puedan compararse en general.

Para continuar, parece que necesitarás construir $so(4)$ afirma explícitamente en un $so(3)$ base. Le sugiero que consulte el trabajo de

SC Pang y KT Hecht, J. Math. Física 8 (1967) 1233
MKF Wong, J.Math.Phys 8 (1967) 1899
identificación. , J.Math.Phys. 10 (1969) 1065

como puntos de partida si necesita la $SO(4)\downarrow SO(3)$ construcción (que puede llegar a ser técnica como descubrirá).

El $SO(4)\downarrow SO(3)\otimes SO(3)$ La base es mucho más fácil, pero tendría que especificar cuál de los subgrupos desea utilizar para reducir sus CG.

Coeficientes de acoplamiento en SO(4)

okj

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ZeroTheHero

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