Diagonalizando Faddeev-Popov Lagrangiano U(1)U(1)U(1)

¿Cómo podemos diagonalizar la U(1) Faddeev-Popov Lagrangian de manera consistente? Parece que no puedo encontrar ningún documento sobre esto, pero no puedo creer que no existan.

Cualquier sugerencia sería muy apreciada.

mi propio intento

(1) S = ∫ d V − ∂ m C ¯ ∂ m C
con C ¯ antihermitiano y C hermitiano

obviamente ajuste C ¯ = i ( ϕ 1 + ϕ 2 ) y C = ϕ 1 − ϕ 2 diagonalizó la acción para:

(2) S = ∫ d V − i ( ( ∂ ϕ 1 ) 2 − ( ∂ ϕ 2 ) 2 )

Con por ejemplo:

(3) Π 1 = d S d ∂ ϕ 1 = − i ∂ ϕ 1
tal que las relaciones de conmutación se convierten en:

(4) { ϕ 1 ( X ) , − i ∂ ϕ 1 ( y ) } = i d ( X − y )

tal que

(5) { a 1 ( k ) , a 1 ( k ′ ) † } ∼ i d ( k − k ′ )

tal que

(6) ⟨ a | a ⟩ = ⟨ 0 | a a † | 0 ⟩ ∼ i

Eso no lo puedo entender ya que la teoría original no tenía estados con norma negativa... Además si calculo el hamiltoniano encuentro que es imaginario.

Comentario a la publicación (v3): Faltan los términos cruzados en la ecuación. (2).
Sí, de hecho, supervisé el hecho de que no se cancelan debido a que son variables de Grasmann. Ahí van mis esperanzas y sueños de diagonalizarlo...

Respuestas (2)

Hay un defecto grave en toda su estrategia. Desde C ¯ , C son fermiones, tienen valores numéricos de Grassmann. Así cualquier número complejo w , z satisfacer ( w C ¯ + z C ) 2 = 0 . Por lo tanto, no puede reescribir el resultado de la manera que pretendía. Más precisamente, si ϕ = w C ¯ + z C entonces

∂ m ϕ ∂ m ϕ = gramo m v ∂ m ϕ ∂ v ϕ = gramo m v ∂ m ( w C ¯ + z C ) ∂ v ( w C ¯ + z C ) ,
que desaparece porque los números de Grassmann son anticonmutables.

¿Significa esto que es imposible diagonalizar el Lagrangiano o todavía hay otro truco posible? estaba pensando en denotar i ϕ 1 = \tilde \phi_1$$ ¿podrías hacer algo con eso?
@gertian No puede diagonalizar productos de números de Grassmann. Sin embargo, puede usar la forma familiar del Lagrangiano para derivar momentos, EOM, etc. El hallazgo interesante es que el EOM obtenido al variar un fermión es una restricción sobre el otro fermión.
Gracias de nuevo, resulta que estaba viendo mi problema desde el "ángulo equivocado" tu comentario me sacó de ahí. ¡Ahora encontré lo que estaba buscando! Eso va a ser una gran contribución a mi tesis de maestría :)
Los fantasmas, C ¯ y C , son en realidad escalares con estadísticas anticonmutación, no son fermiones ya que son de espín 0.
@CStarAlgebra Depende de si define bosones y fermiones por su giro o estadísticas, pero este último tiene más sentido porque las estadísticas llevan el nombre de los mismos científicos y la denominación basada en el giro está inspirada en la conexión habitual entre los dos para partículas físicas . No tiene sentido nombrar a los satisfactores de estadísticas de FD en honor a Bose.

Aquí hay una perspectiva ligeramente diferente: la pregunta de OP parece (posiblemente indirectamente) preguntar si un término de acción fantasma cuadrático de la forma

(i) C ¯ i   METRO i j   C j ,
dónde METRO i j es una matriz (posiblemente de dimensión infinita), se puede reformular en un término de acción de la forma
(ii) 1 2 C I   A I j   C j   ?
Aquí A I j es una matriz antisimétrica , debido a la naturaleza de Grassmann de la C 's.

Dado que la matriz de OP (o más bien el operador) METRO = ∂ m ∂ m es simétrico para empezar, este esfuerzo es una causa perdida/imposible.

Maravilloso ! Esto es genial, exactamente lo que necesitaba... (O no necesitaba, pero oye, la física no siempre hace lo que quieres, ¿verdad :))
Sin embargo, puedo agregar a esto que H = ω C † ¯ C + h . C . es diagonal cuando actúa sobre estados ya que { C , C † } = 1 y C C = C ¯ C ¯ = 0 . De hecho, podríamos escribir H = ω | C ¯ ⟩ ⟨ C | + h . C . tal que por ejemplo H = ω | C ¯ ⟩ ⟨ C | C ¯ ⟩ = | C ¯ ⟩ . ¿Valdría la pena agregar esto a su respuesta para que la gente más tarde lo lea? El fondo es que C y C ¯ formar una base nula con esto en mente, la acción es de hecho diagonal.
Gracias @gertian. Prefiero mantener esta respuesta corta para no confundir mi punto principal. Considere agregar su propia respuesta.
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