Cuantificación y norma BRST

Los estados con un número fantasma definido tienen una norma cero (ya que el número fantasma es antihermitiano y tiene valores propios reales). Por ejemplo, al cuantificar la partícula puntual relativista, el espectro físico resulta consistir en estados con un número fantasma definido | k , ↑ ⟩ , k 2 + metro 2 = 0 . Y estos estados tienen norma cero.

Esto no es muy satisfactorio, ¿verdad? ¿Asi que que hacemos? ¿Redefinir el producto interno en la cohomología BRST?

UPD: ampliando la pregunta (ejemplo de partículas relativistas). Tenemos un par de campos anticonmutación reales b , C con { b , C } = 1 . La carga BRST está dada por q = C ( pag 2 + metro 2 ) . Una representación irreductible de fantasma y antifantasma está dada por C | ↓ ⟩ = 0 , b | ↓ ⟩ = | ↑ ⟩ , C | ↑ ⟩ = | ↓ ⟩ , b | ↑ ⟩ = 0 . Los estados físicos obedecen q | ψ ⟩ = 0 . Hasta estados exactos de la forma q | a ⟩ espectro físico está dado por | k , ↑ ⟩ con k 2 + metro 2 = 0 . Pero ⟨ k , ↑ | k ′ , ↑ ⟩ = ⟨ k , ↓ | b b | k ′ , ↓ ⟩ = 0 para cualquier k , k ′ . ¿Esto no parece correcto?

¿Por qué crees que este estado pertenece al espectro físico ? Un estado físico tiene que ser BRST-invariante y tener un número fantasma que se desvanece por definición.
Tenemos un fantasma real C y antifantasma b . Tome el número fantasma para ser 1 2 ( b C − C b ) . Entonces tenemos estados | ↓ ⟩ con número fantasma − 1 2 y | ↑ ⟩ con 1 2 . El cargo BRST es C ( pag 2 + metro 2 ) , y estados físicos (hasta vectores exactos) se mencionan anteriormente.
Eso no responde a la pregunta de por qué afirma que estos son los estados físicos. Como dije, el número fantasma cero es parte de lo que caracteriza a un estado físico en primer lugar .
Entonces, ¿qué estados hay en este ejemplo?
Bueno, si ese es el operador de número fantasma correcto, obviamente un estado de número fantasma cero sería | ↑ ⟩ + | ↓ ⟩ , ¿No? Realmente debe definir su notación en la pregunta y dar razones por las que cree que un estado de número fantasma distinto de cero se encuentra en el espacio físico de los estados.
Bueno, no, ya que ese estado ni siquiera tiene un número fantasma definido. Probablemente, la definición más común de número fantasma sería simplemente C b , y el estado | ↑ ⟩ será de cero número fantasma. Por qué creo que se encuentra en el espectro físico es porque es aniquilado por q y no es exacto (no equivalente a 0).
Consejo: Considere agregar referencias para obtener respuestas útiles y enfocadas.

Respuestas (1)

Sí, no es muy satisfactorio. La resolución habitual es modificar el producto interior.

⟨ ⟨ A | B ⟩ ⟩ ≡ ⟨ A | C | B ⟩
Luego insertando { b , C } = 1 en la norma ya no produce un resultado que se desvanece. Alternativamente, como lo hizo el interrogador, uno puede tratar de usar los hechos que | ↑ ⟩ = b | ↓ ⟩ y b 2 = 0 , pero ahora encontraremos b C b dentro del antiguo producto interno en su lugar.

El producto interno modificado tiene beneficios adicionales. Con respecto a la nueva norma, la corriente fantasma se vuelve hermitiana.

El estado | k , ↑ ⟩ de hecho, tiene un número fantasma distinto de cero, como afirma el interrogador. Quizás los comentarios fueron sobre el teorema de no fantasma. El teorema de no fantasma, sin embargo, es una afirmación de que los estados físicos no deben tener una norma negativa, no que tengan un número fantasma cero.

Los estados físicos en el formalismo BRST generalmente se definen como los estados invariantes de BRST con un número fantasma cero, al menos como lo aprendí, cf. capítulo 14 en "Cuantización de sistemas de calibre" por Henneaux y Teitelboim. Extender el formalismo para tener estados de número fantasma distinto de cero en el espectro físico no es estándar. Como ejemplo, considere que la restricción de los estados físicos de la cadena a los de peso conforme 1 es precisamente la de los de número fantasma cero.
No estoy familiarizado con este libro de texto. Mi fuente son notas de conferencias inéditas de Peter van Nieuwenhuizen. Pero piense que lo que estoy diciendo es realmente familiar del sistema bc en la teoría de cuerdas, donde es natural, en el toro para establecer ⟨ ↑ | ↓ ⟩ = 1 en lugar de ⟨ ↓ | ↓ ⟩ = 1 . Estos | ↑ ⟩ y | ↓ ⟩ Los estados se relacionan entonces con el S L 2 ( R ) vacío invariante actuando además con el C fantasma, lo que lleva a decir (1.52) en hep.itp.tuwien.ac.at/~kreuzer/inc/sst2.pdf .
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