Valor esperado de un operador imaginario que actúa sobre una función real

Question

Valor esperado de un operador imaginario que actúa sobre una función real

Física
operadores
espacio de hilbert
números complejos
elementos de matriz
mecánica cuántica

JK

En un video ( http://youtu.be/r_gBQ_qhg8U?t=9m58s ) se afirma que un elemento de matriz de un operador imaginario que actúa sobre una función de onda real es cero, es decir

⟨ real | imaginario | real ⟩ = 0,

$\langle\text{real}|\text{imaginary}|\text{real}\rangle ~=~ 0,$ y realmente no entiendo por qué.

Cuando hacemos un cálculo real, ¿no será el $i$ de $l_z$ simplemente pasar al frente de la integral y no tener influencia en su valor real?

DanielSank

Bienvenido a Physics Stack Exchange. ¿Qué es un "operador imaginario"? Muchos usuarios de este sitio no hacen clic en los enlaces a los videos. En realidad, es política del sitio que incluya lo que necesite de cualquier enlace directamente en la pregunta. Esto tiene varios beneficios: 1) evita que el enlace se rompa, 2) lo obliga a pensar qué material del enlace es realmente relevante, lo que a menudo lo ayuda a resolver su propio problema, 3) hace que la publicación sea mucho más fácil de entender y por lo tanto, significa que es mucho más probable que obtenga una respuesta.

qmecanico

Sugerencia para la pregunta (v1): ¿Puede el valor esperado de un operador autoadjunto

{\hat{L}}_{z}

$\hat{L}_z$ ser imaginario? Algo relacionado: physics.stackexchange.com/q/16678/2451

JK

Ese es un poco el problema... Esta declaración simplemente se descarta en el video y no se proporciona mucha justificación. Pensé que tal vez me faltaba algo muy básico aquí y decidí aclararlo aquí. Al menos ahora veo que no soy el único confundido por esto. :)

Respuestas (2)

Valor esperado de un operador imaginario que actúa sobre una función real

Bienvenido a Physics Stack Exchange. ¿Qué es un "operador imaginario"? Muchos usuarios de este sitio no hacen clic en los enlaces a los videos. En realidad, es política del sitio que incluya lo que necesite de cualquier enlace directamente en la pregunta. Esto tiene varios beneficios: 1) evita que el enlace se rompa, 2) lo obliga a pensar qué material del enlace es realmente relevante, lo que a menudo lo ayuda a resolver su propio problema, 3) hace que la publicación sea mucho más fácil de entender y por lo tanto, significa que es mucho más probable que obtenga una respuesta.
Sugerencia para la pregunta (v1): ¿Puede el valor esperado de un operador autoadjunto $\hat{L}_z$ ser imaginario? Algo relacionado: physics.stackexchange.com/q/16678/2451
Ese es un poco el problema... Esta declaración simplemente se descarta en el video y no se proporciona mucha justificación. Pensé que tal vez me faltaba algo muy básico aquí y decidí aclararlo aquí. Al menos ahora veo que no soy el único confundido por esto. :)

Jannick · Answer 1

No conozco el término "operador imaginario". Tomo esto como un operador antihermitiano, cuyos valores propios son puramente imaginarios. Entonces la afirmación claramente no es cierta. Tomemos como contraejemplo cualquier operador hermitiano $\hat{A}$ y función de onda real $\psi$ con $\langle \psi | \hat{A} |\psi\rangle = A_\psi \neq 0$ . $A_\psi$ es por supuesto real. Tómalo ahora $\hat{B} = i \hat{A}$ , que es antihermítica. Sigue

⟨ ψ | \hat{B} | ψ ⟩ = i ⟨ ψ | \hat{A} | ψ ⟩ = i A_{ψ} \neq 0

$\langle \psi | \hat{B} |\psi\rangle =i \langle \psi | \hat{A} |\psi\rangle=i A_\psi\neq 0$

qmecanico · Answer 2

En el video , el Prof. G. Rangarajan está considerando el valor esperado

R ∋ ⟨ ψ | \underset{autoadjetivo}{\underset{⏟}{{\hat{L}}_{z}}} | ψ ⟩ = \int d^{3} r \underset{real}{\underset{⏟}{\bar{ψ (r)}}} \underset{imaginario}{\underset{⏟}{(- i ℏ) \frac{\partial}{\partial φ}}} \underset{real}{\underset{⏟}{ψ (r)}} \in i R .

$\mathbb{R}~\ni~ \langle \psi |\underbrace{\hat{L}_z}_{\text{self-adj.}} |\psi \rangle ~=~ \int\! d^3r ~\underbrace{\overline{\psi({\bf r})}}_{\text{real}} \underbrace{ (-i\hbar) \frac{\partial}{\partial \varphi}}_{\text{imaginary}} \underbrace{\psi({\bf r})}_{\text{real}} ~\in~i\mathbb{R}.$

En otras palabras, debe ser tanto real como imaginario. Concluye que debe ser cero.

Valor esperado de un operador imaginario que actúa sobre una función real

JK

DanielSank

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JK

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Jannick

qmecanico

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