¿Cuándo se pueden sumar dos cantidades?

Cada vez que se van a sumar dos cosas, normalmente es necesario comprobar si esto realmente tiene sentido, y se dice que una suma tiene sentido, en principio, cuando las unidades coinciden.
Sin embargo, las unidades coincidentes claramente no son suficientes:

• Tanto la acción (como$\hbar$) y momento angular$L$compartir las unidades SI$Js$.
  • Aunque la adición de tales cantidades puede descartarse rápidamente al afirmar que$\vec{L}$es una cantidad dirigida y los vectores y escalares tampoco pueden (normalmente) sumarse.
• Configuración$c=1$, como se hace comúnmente en la mecánica relativista, varias unidades se convierten en una y la misma:
  • $\left[\text{length}\right]=\left[\text{time}\right]$,$\left[\text{mass}\right]=\left[\text{energy}\right]=\left[\text{momentum}\right]$,$\left[\text{acceleration}\right]=\left[\text{frequency}\right]$etc.
  • en su mayoría tienen sentido con$4$-vectores, reconociendo que, digamos, el tiempo es ortogonal al espacio, aunque no he visto$\left[\text{acceleration}\right]=\left[\text{frequency}\right]$utilizado antes.
• yendo un paso más allá, introduciendo unidades de Planck derivadas de constantes naturales, todas las unidades se convierten en potencias de$\left[\text{length}\right]$: (hecho a mano, posibles errores)
  • $\left[\text{1}\right]=\left[\text{#particles}\right]=\left[\text{%}\right]=\left[\text{odds}\right]=\left[\text{velocity}\right]=\left[\text{entropy}\right]=\left[\text{action}\right]=\left[\text{angular momentum}\right]=\left[\text{charge}\right]=\left[\text{resistance}\right]$
  • $\left[\text{length}\right]=\left[\text{time}\right]=\left[\text{inductance}\right]$
  • $\left[\text{length}^{-1}\right]=\left[\text{energy}\right]=\left[\text{mass}\right]=\left[\text{momentum}\right]=\left[\text{frequency}\right]=\left[\text{acceleration}\right]=\left[\text{torque}\right]=\left[\text{capacitance}\right]=\left[\text{current}\right]=\left[\text{voltage}\right]=\left[\text{temperature}\right]=\left[\text{chemical potential}\right]$
  • $\left[\text{length}^{-2}\right]=\left[\text{force}\right]=\left[\text{magnetic flux density}\right]$
  • $\left[\text{length}^{-4}\right]=\left[\text{pressure}\right]$
  • probablemente muchos, muchos más (que en realidad están en uso en alguna parte; en principio, por supuesto, habría infinitas relaciones de este tipo)

Entonces, para muchos de ellos, puedo ver claramente por qué no podrían sumarse de manera consistente:
algunas de estas cantidades son fundamentalmente escalares, otras son vectores axiales y otras son vectores polares. - en el cálculo vectorial normal, esos tres no se pueden sumar.
El recuento de partículas y las cantidades relativas también son diferentes porque se definen en diferentes dominios; respectivamente$\mathbb{N}$y$\left[0,1\right]$. Todas las demás cantidades anteriores se definen en$\mathbb{R}$o en$\left[0,\infty\right[$, aunque los datos experimentales y las teorías que se ajustan a ellos pueden limitar aún más algunos de ellos, como la carga eléctrica.

Entonces, las condiciones necesarias para una adición correctamente definida que encontré hasta ahora son:

• unidades coincidentes
• dominios coincidentes
• dimensión coincidente
• hacer coincidir el comportamiento transformacional o la covarianza (? - No estoy lo suficientemente versado en GR para saber que esto siempre es un problema. Soy vagamente consciente de los tensores covariantes y contravariantes y demás, pero no puedo recordar si un co- y un tensor contravariante del mismo espacio generalmente se pueden sumar. Sin embargo, lo que no cuento es la suma como podría suceder en Álgebra geométrica, donde puedes tener multivectores. En ese contexto, estoy preguntando específicamente sobre suma de álabes iguales. En ese caso, el hecho de que los vectores axial y polar no se puedan sumar se convierte en el hecho de que corresponden a vectores o bivectores).

Aunque debe haber más que eso, ¿verdad? Por lo que sé, las reglas anteriores no descartarían, por ejemplo, sumar una capacitancia y una temperatura. ¿O me equivoco? (es decir, ¿la adición sugerida anteriormente viola una de las cuatro condiciones anteriores o, de hecho, tiene sentido físico en ciertas situaciones, o de alguna manera puede pensar razonablemente en ellos como componentes diferentes de un vector compartido?)

Teniendo en cuenta todo esto, ¿existe una regla matemática o física clara (o un conjunto de reglas) que defina completamente cuándo se pueden sumar dos valores de una manera físicamente consistente? ¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes?

EDIT 1: Elección de unidades naturales

Cometí un error, o tuve un descuido, en mi elección de las unidades anteriores: configuré$c=\hbar=k_B=k_e=1$pero se olvidó de establecer también$G=1$. Si veo esto bien, entonces$G=c=\hbar=1$implica algo bastante extraño:
$\left(c=1\right)$implica$\left[\text{length}\right]=\left[\text{time}\right]$y$\left[\text{energy}\right]=\left[\text{mass}\right]$
$\left(\hbar=1\right)$implica$\left[\text{energy}\right]=\left[\text{time}^{-1}\right]$
$\left(G=1\right)$implica$\left[\text{mass}\right]=\left[\text{length}^3\text{time}^{-2}\right]$

Así que juntos:$\left[\text{length}^{-1}\right]=\left[\text{time}^{-1}\right]=\left[\text{energy}\right]=\left[\text{mass}\right]=\left[\text{length}^3\text{time}^{-2}\right]=\left[\text{length}\right]$

Pero$\left[\text{length}^{-1}\right]=\left[\text{length}\right]$solo se puede cumplir si$\left[\text{length}\right]=\left[1\right]$. Entonces, si se vuelve completamente natural, todas las unidades, de hecho, se han ido.

Relacionado con esto está el siguiente comentario de jwimberley a una respuesta de otra pregunta: ¿ Qué justifica el análisis dimensional?

En ese caso, mi pregunta se convierte en "Estar en el sistema de unidades naturales donde$c=\hbar=G=k_e=k_B=1$, ¿cómo puede saber si se pueden sumar dos cantidades?". Ya identifiqué un par de requisitos arriba. Ahora queda por decir si son suficientes o si hay algunas condiciones adicionales requeridas. Quiero decir, posiblemente podría solo (tal vez como vagamente sugerido por el comentario vinculado anterior) coloque todas las cantidades que decididamente no son iguales en diferentes componentes de un vector grande que contiene todas las unidades por separado (así como copias de unidades para cuando existan, como, digamos, tres coordenadas espaciales separadas) , siempre que coincidan todos los dominios de las unidades incluidas (deben definirse todas, cada una individualmente, sobre la totalidad de$\mathbb{R}$o lo que quepa). No veo una razón por la que esto no funcione, pero al mismo tiempo no estoy seguro de si sería una buena solución. Pero, ¿de qué otra manera hacer un seguimiento de todos estos tipos de valores si todas sus unidades correspondientes son solo$1$? Hay muy buenas razones por las que tenemos$4$-vectores. ¿Se podría hacer un caso similar para vectores más grandes o la estructura subyacente que conecta diferentes unidades no funcionaría bien con eso? ¿Y qué tan grande tendría que ser este vector? - Por ejemplo, como se mencionó,$c=1$implica$\left[\text{energy}\right]=\left[\text{mass}\right]$según$E^2=m^2c^4+p^2c^2$, por lo que probablemente no necesitaría entradas separadas para la energía y la masa, pero necesitaría tres entradas adicionales para el impulso porque esa es una cantidad dirigida.

Estoy lanzando muchas preguntas adicionales aquí, pero en realidad todas son solo consecuencias de preguntar cuándo (no) agregar dos cosas. Siéntase libre de ignorar esos extras siempre que se responda la pregunta original.

EDICIÓN 2: Acerca de los posibles duplicados (continuación con$G\neq 1$)

Si bien está relacionado, mi pregunta es un poco diferente de ¿ Qué justifica el análisis dimensional? : No estoy preguntando sobre agregar directamente algo como "$5m+10s$": esto claramente no está definido. Sin embargo, puede agregarlos usando un vector de 4:$10\vec{X} = s \ \vec{e}_0 + \left( 3 m \ \vec{e}_2 + 4 m \ \vec{e}_3 \right) = \left(\begin{matrix} 10s & 0m & 3m & 4m\end{matrix}\right)$o, usando las mismas unidades en todas partes,$\vec{X}=\left(\begin{matrix} 2997924580 & 0 & 3 & 4\end{matrix}\right)m$. - No es que esta elección de unidades sea particularmente razonable para tales valores.
Este vector tiene una parte espacial$\vec{x}=\left( 3 m \ \vec{e}_2 + 4 m \ \vec{e}_3 \right), \left|x\right| =5m$y una parte temporal$t=2997924580m=10s$y, si no me equivoco (y muy bien podría estarlo), dado que el vector tiene una métrica de Minkowski, tiene una "longitud"$\left|\vec{X}\right|=5 \sqrt{359502071494727055}m \approx 10s$. (esos 5m casi no importan)

Y hay más cantidades dentro de la relatividad especial que admiten tal forma. Por ejemplo, el vector de energía-momento-4, o el campo electromagnético.

Aunque como se mencionó,$c=1$implica más correspondencias. Por ejemplo, ¿hay un 4-vector de aceleración de frecuencia? - Por supuesto, hay 4-aceleración, pero ¿es la parte temporal algún tipo de frecuencia, como sugeriría la unidad?

Por supuesto, la respuesta más simple mirando solo la mecánica newtoniana que (que yo sepa), para problemas en$\mathbb{R}^3$, está estrictamente limitada a 3-vectores y escalares, sería que ni siquiera$\left[\text{length}\right]=\left[\text{time}\right]$sostiene Sin embargo, nosotros (es decir, los físicos del siglo pasado o más) hemos establecido, por ahora, una correspondencia bastante clara entre el espacio y el tiempo que tiene sentido tanto físico como matemático al aceptar$c$como unidad natural.

Y otras unidades naturales sugieren incluso más correspondencias de este tipo. Mi pregunta es: ¿Son todas esas correspondencias realmente físicas de alguna manera tal vez similares a los 4 vectores en SR? (Son incluso todos los sugeridos por$c=1$solo razonable dentro de la intuición física? - al menos una parte decente de ellos aparentemente lo son). Y si no, ¿qué, precisamente, sale mal? (Porque tienen unidades coincidentes en lo que respecta a las unidades naturales)
O, en resumen, ¿qué se puede o no se puede sumar bajo qué circunstancias?

Ahora, la respuesta aceptada para la pregunta vinculada anteriormente, https://physics.stackexchange.com/a/98257/16568 , puede acercarse bastante a una respuesta parcial:

La física es independiente de nuestra elección de unidades.

pero por lo que puedo ver, esto solo descarta que pueda agregar cantidades con diferentes unidades en el mismo espacio. Eso se evita nuevamente dentro de SR al cambiar a 4 vectores, si lo entiendo bien.

Finalmente, la Pregunta fundamental sobre el análisis dimensional se proporcionó como otro duplicado potencial o al menos como algo que podría ayudar. Aunque como se dijo, me queda claro por qué las funciones más complejas que los productos o las sumas no tendrán sentido con ninguna cantidad con unidades.
Soy consciente de que los productos y las potencias enteras son las únicas funciones que no se preocupan por las unidades (funcionarán sin importar qué) y las combinaciones lineales funcionarán si todos los términos tienen la misma unidad.