Cómo expresar una energía en unidades naturales

si configuras$\hbar = c = G = 1$entonces cualquier cantidad física puede declararse equivalente a cualquier otra cantidad física y puede transformar una expresión que diga que esto es así en cualquier otro sistema de unidades, por ejemplo, unidades SI poniendo los factores correctos que involucran$\hbar$,$c$, y$G$. Esto se hace más fácilmente construyendo cantidades con las dimensiones de longitud, tiempo y masa usando$\hbar$,$c$, y$G$, estas expresiones se conocen como la longitud de Planck, el tiempo de Planck y la masa de Planck, ver aquí para más detalles .

Luego, dada una ecuación en$\hbar = c = G = 1$unidades, puede encontrar las unidades SI equivalentes correctas dividiendo todas las variables en la ecuación por la unidad de Planck de la variable y multiplicando el resultado final por la unidad de Planck de la cantidad física deseada. porque empiezas con$\hbar = c = G = 1$, no está cambiando nada en la ecuación, pero debido a que ahora también es dimensionalmente correcta en unidades SI, es la ecuación SI correcta cuando sustituye los valores SI por$\hbar$,$c$, y$G$.

Ejemplo, si igualas una masa$M$a una longitud$L$en$\hbar = c = G = 1$unidades:

$$M = L$$

entonces somos libres de poner poderes arbitrarios de$\hbar$,$c$, y$G$porque son iguales a 1 de todos modos. Entonces podemos dividir el lhs por la masa de Planck y el lado derecho por la longitud de Planck, esto produce:

$$M \sqrt{\frac{G}{\hbar c}} = L\sqrt{\frac{c^3}{\hbar G}}$$

Podemos escribir esto como:

$$L=\frac{M G}{c^2}$$

que es dimensionalmente correcto en unidades SI.

Puedes jugar este juego con cualquier expresión arbitraria, por ejemplo

$$M^3 \exp(M/L) = L^5$$

se puede transformar en una expresión SI dimensionalmente correcta casi sin esfuerzo (dejo esto como un ejercicio para el OP).

Eres libre de elegir cualquier unidad para usar (en varios poderes) para expresar valores en sistemas desdimensionalizados. Gertain elige usar segundos, más que unos pocos libros de introducción a la relatividad general usan longitud, pero en mi campo (física de partículas) tendemos a usar electronvoltios (es decir, energía) como base para todas las medidas.

En ese caso, la energía se expresa como, bueno, energía. Como es la masa. Tanto la longitud como el tiempo se expresan como energía inversa (puede obtener eso de la ecuación que está considerando y luego notar que la velocidad tiene que ser adimensional).

En primer lugar, los radianes son adimensionales, por lo que no debes escribir:$\omega[rad\ s^{-1}]$.

Análisis dimensional

Las unidades de energía en unidades naturales las dimensiones de la energía son$s^{-1}$. Esto tiene sentido ya que$E=\omega$.

Las unidades de distancia en unidades naturales son$s$. Esto tiene sentido ya que longitud de onda =$c *$tiempo de viaje. Pero$c$= 1 por lo que la distancia y el tiempo tienen las mismas unidades.

Algo de intuición detrás de las unidades naturales

Para interpretar estas unidades naturales, veamos este sencillo ejemplo:$v = 0.5 c$, en unidades naturales esto sería$v=0.5$. Esto significa que la velocidad es la mitad de la velocidad de la luz.

Similarmente,$E=0.7 s$debe interpretarse como: la energía es 0,7 veces$\hbar*s$

Editar para aclarar la pregunta de OP en los comentarios.

Cabe señalar que no podemos establecer una cantidad infinita de unidades en 1, ya que esto daría lugar a graves inconsistencias en las unidades. Un ejemplo es G que NO se establece en 1 en unidades naturales.

Supongamos G = 1. Encontramos que$r_s = GM/c^2$de modo que$[r_s] = m = s = [M] = [E] = s^{-1}$?!

Sin embargo, si$[G] = m^3 *kg*s^2 = ms$(desde$kg = [E] = 1/s$y$m=s$) encontramos eso$r_S = GM/c^2$de modo que$[r_S] = m = s = G [E] = ms*s^{-1} = m$para que no haya problema...

Por lo tanto, no establezca todas las unidades en 1. Por ejemplo, G no debe establecerse en 1. (en resumidas cuentas, si encuentra inconsistencias, ha establecido muchas unidades en 1)

La respuesta a su primera pregunta es que en unidades naturales usamos energía como única unidad para describir otras cantidades. La energía se puede tomar en términos de eV principalmente, por lo que ahora podemos usar unidades de energía eV para describir otras cantidades como masa, distancia, etc. Como referencia, puede ver Peskin (Una introducción a la teoría cuántica de campos).

Para tu segunda pregunta.

$$0.511 M eV = (3.862*10^{-11}cm)^{-1}$$ De esta relación podemos derivar $$(1M eV)^{-1}= 1.973*10^{-13} m.$$