¿Qué justifica el análisis dimensional?

La física es independiente de nuestra elección de unidades.

Y para algo como una longitud más un tiempo, no hay forma de especificar de forma única un resultado que no dependa de las unidades que elija para la longitud o el tiempo.

Cualquier cantidad medible pertenece a algún conjunto$\mathcal{M}$. A menudo, esta cantidad medible viene con alguna noción de "suma" o "concatenación". Por ejemplo, la longitud de una varilla$L \in \mathcal{L}$es una cantidad medible. Puede definir una operación de adición$+$en$\mathcal{L}$al decir que$L_1 + L_2$es la longitud de la varilla formada por la unión de las varillas 1 y 2 de extremo a extremo.

El hecho de que le atribuyamos un número real significa que tenemos un isomorfismo

$$u_{\mathcal{M}} \colon \mathcal{M} \to \mathbb{R},$$ en el cual $$u_{\mathcal{M}}(L_1 + L_2) = u_{\mathcal{M}}(L_1) + u_{\mathcal{M}}(L_2).$$ Una elección de unidades es esencialmente una elección de este isomorfismo. Recuerda que un isomorfismo es invertible, por lo que para cualquier número real$x$tienes una medida posible$u_{\mathcal{M}}^{-1}(x)$. Estoy siendo confuso acerca de si$\mathbb{R}$es el conjunto de los números reales o simplemente los números positivos; es decir, si se trata de grupos, monoides o cualquier otra cosa. No creo que importe mucho para esta publicación y, lo que es más importante, no lo he resuelto todo.

Ahora, dado que la física debería ser independiente de nuestra elección de unidades, debería ser independiente de los isomorfismos particulares$u_Q$,$u_R$,$u_S$, etc. que usamos para nuestros medibles$Q$,$R$,$S$, etc. Un cambio de unidades es un automorfismo de los números reales; dadas dos unidades$u_Q$y$u'_Q$, el cambio de unidades es

$$\omega_{u,u'} \equiv u'_Q \circ u_Q^{-1}$$ o equivalente, $$\omega_{u,u'} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \ni \omega(x) = u'_Q(u_Q^{-1}(x)).$$ Por lo tanto, $$\begin{align} \omega(x+y) &= u'_Q(u_Q^{-1}(x+y)) \\ &= u'_Q(u_Q^{-1}(x)+u_Q^{-1}(y)) \\ &= u'_Q(u_Q^{-1}(x)) + u'_Q(u_Q^{-1}(y)) \\ &= \omega(x) + \omega(y). \end{align}$$

Entonces, desde$\omega$es un automorfismo de los reales, debe ser un reescalado$\omega(x) = \lambda x$con alguna escala relativa$\lambda$(Como señaló @SeleneRoutley, esto requiere la suposición débil de que$\omega$es una función continua; también hay soluciones discontinuas en todas partes. Obviamente, las unidades no son útiles si son discontinuas en todas partes; en particular, para que el error de medición instrumental mapee un espacio permitido de$u_\mathcal{M}$en un intervalo de$\mathbb{R}$. Si permitimos la existencia de una operación de orden sobre$\mathcal{M}$, o quizás una topología independiente de la unidad, esto podría ser más preciso).

Considere una fórmula física típica, por ejemplo,

$$F \colon Q \times R \to S \ni F(q,r) = s,$$ dónde$Q$,$R$, y$S$son todos medibles aditivos en el sentido definido anteriormente. Da las tres unidades medibles. Entonces hay una función $$f \colon \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ definido por $$f(x,y) = u_S(F(u_Q^{-1}(x),u_R^{-1}(y)).$$

El requisito de que la física debe ser independiente de las unidades significa que si las unidades para$Q$y$R$están escalados por algunas cantidades$\lambda_Q$y$\lambda_R$, entonces debe haber una reescala de$S$,$\lambda_S$, tal que

$$f(\lambda_Q x, \lambda_R y) = \lambda_S f(x,y).$$

Por ejemplo, imagina la función de cantidad de movimiento tomando una masa$m \in M$y una velocidad$v \in V$dar un impulso$p \in P$. Elegir$\text{kg}$para masa,$\text{m/s}$para la velocidad y$\text{kg}\,\text{m/s}$para el impulso, esta ecuación es

$$p(m,v) = m*v.$$ Ahora, si la unidad de masa se cambia a$\text{g}$, está escalado por$1000$, y si la velocidad se cambia a$\text{cm/s}$, está escalado por$100$. La dependencia de la unidad requiere que haya un cambio de escala del impulso tal que $$p(1000m,100v) = \lambda p(m,v).$$ Esto es simple --$10^5 mv = \lambda mv$y entonces$\lambda = 10^5$. En otras palabras, $$p[\text{g} \, \text{cm/s}] = 10^5 p[\text{kg} \, \text{m/s}].$$

Ahora, consideremos una situación hipotética donde tenemos una cantidad llamada "longitud más tiempo", definida que cuando la longitud se mide en metros y el tiempo en segundos, y "longitud más tiempo" en alguna unidad hipotética llamada "metro+segundo", la la ecuación para "longitud más tiempo" es

$$f(l,t) = l + t.$$ Esto es lo que has dicho -$10 \text{ m} + 5 \text{ s} = 15 \text{ “m+s”}$. Ahora bien, ¿esta ecuación es invariante ante un cambio de unidades? Cambiar la escala de longitud por$\lambda_L$y la escala de tiempo por$\lambda_T$. hay un numero$\Lambda$tal que $$f(\lambda_L l, \lambda_T t) = \lambda_L l + \lambda_T t$$ es igual a $$\Lambda f(l,t) = \Lambda(l+t)$$ para todas las longitudes y tiempos$l$y$t$? ¡No! Por lo tanto, esta ecuación$f = l + t$no puede ser una representación válida en números reales de una fórmula física.

Muy bien, estoy cobrando mis comentarios para dar una respuesta:

Comencemos con un ejemplo que no invoque dimensiones, unidades o física en absoluto. ¿Cómo evaluamos la siguiente expresión?

$$1 + \begin{pmatrix}5\\2\\-9\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a\ b\\c\ d\end{pmatrix}$$

La respuesta es que no lo hacemos. No sin definir alguna convención especial, como que toda cantidad se multiplique por alguna matriz invisible de tal forma que todas acaben siendo$3\times3$matrices... eso es simplemente arbitrario e inconsistente.

Ahora bien, ¿cómo interpretamos$5 \text{meter} + 10 \text{seconds}$? La respuesta es que no lo hacemos. Nuevamente, no sin definir alguna convención arbitraria, inconsistente y sin sentido. Propusiste que es igual a 15; bueno voy a definir$5\text{m}+10\mu \text{s}=15$también, y ahora acabamos de demostrar que los microsegundos equivalen a segundos.

La lección es que no hay una manera significativa de realizar sumas en diferentes tipos de cantidades. En física, nos referimos a los tipos generales como dimensiones . Ejemplos de dimensiones son: longitud, tiempo, energía, masa, etc. Las unidades son formas específicas de representar dimensiones, por ejemplo, metros y pies son unidades de longitud de dimensión.

Entonces, ¿cómo se relaciona esto con tu ejemplo del cometa? Has observado (correctamente) que, de hecho, podemos multiplicar diferentes dimensiones. Por ejemplo , la masa multiplicada por la velocidad tiene dimensiones de impulso . Pero eso todavía no significa que puedas comparar cantidades dispares. La condición para que su cálculo sea correcto es:

$$(\text{comet mass})\times(\text{period}) - (\text{the true speed}) = 0$$ Pero como ya hemos mostrado, esta expresión no tiene sentido ya que no podemos sumar (o restar) cantidades de diferentes dimensiones.

En física, no puedes ignorar las unidades; vienen a dar un paseo en cada sub-paso de cada cálculo. Desde una perspectiva matemática, considera que las unidades son variables, así que en lugar de 5 metros + 10 segundos, tienes 5x + 10y. A menos que asigne arbitrariamente x = y = 1, no hay forma de que obtenga 15 de esto; al final del día, todavía tienes 5x + 10y, y la física no está interesada en los números complejos. Al final de un cálculo, necesita un número y "5x + 10y" son dos números. Y aquí está el problema de la física: no está permitido asignar valores a esas variables. Son unidades básicas, irreductibles; no puedes decir "los metros son 1".

Por otro lado, puedes multiplicar unidades como si no fuera asunto de nadie. "Furlongs per quincena" es una frase tonta, pero puedes usarla y todos (después de algunas conversiones) entenderán exactamente lo que estás diciendo:

$$13440\frac{\text{furlongs}}{\text{fortnight}} \times \frac{1 \; \text{mile}}{8 \; \text{furlongs}} = 1680\frac{\text{miles}}{\text{fortnight}}$$

$$1680 \frac{\text{miles}}{\text{fortnight}} \times \frac{1 \; \text{fortnight}}{336 \; \text{hours}} = 5 \frac{\text{miles}}{\text{hour}}$$

(Cue una horda de físicos enojados descendiendo sobre mí por mi uso de unidades imperiales).

En cada paso de estas conversiones, las unidades nunca desaparecieron; se quedaron con los números. Cuando estás calculando algo en física, los números con los que juegas son cosas reales ; representan una cantidad de algo, y ese algo no desaparece solo porque creas que es un inconveniente. Entonces, si un asteroide recorre 10 metros en 5 segundos, se ve así:

$$10 \; \text{meters} \times \frac{1}{5 \; \text{seconds}} = 2 \frac{\text{meters}}{\text{second}}$$

Puedes multiplicar y dividir cantidades como quieras, y terminarás con algunas unidades originales, pero tu número final será válido, aunque puede ser difícil relacionarlo con todo lo demás. (Por ejemplo, la viscosidad de un fluido se mide en (kilogramos por (metro * segundo)), lo cual no es particularmente intuitivo pero es útil en los lugares particulares donde se usa la viscosidad).

La mayoría de las respuestas parecen reiterar que no está permitido agregar longitudes y tiempos solo porque no tiene sentido. He aquí por qué no tiene sentido.

Si dos objetos tienen la misma temperatura en Celsius, entonces tienen la misma temperatura en Fahrenheit.

Si dos objetos tienen la misma velocidad en metros por segundo, entonces tienen la misma velocidad en millas por hora.

Pero si dos objetos tienen la misma "suma de longitudes de tiempo" en metros + segundos, es posible que no tengan la misma "suma de longitudes de tiempo" en otras unidades. Por ejemplo,

$$60\,\text{meters}+0\,\text{seconds}\ “=”\ 0\,\text{meters}+60\,\text{seconds}$$ pero $$60\,\text{meters}+0\,\text{minutes}\ “\ne”\ 0\,\text{meters}+1\,\text{minute}.$$ Por lo tanto, no tiene sentido pensar en la suma del tiempo como una cantidad física real en lugar de una coincidencia numérica causada por nuestra elección de unidades.

Esta es básicamente la última parte de la respuesta de jwimberley, pero pensé que sería útil tener un ejemplo explícito explicado para que el punto sea deslumbrantemente obvio.

Jack, primero explicaré el problema aquí de una manera matemática en lugar de física. El problema matemático en juego aquí es que la operación que propones no está bien definida al nivel de la física básica. Echemos un vistazo a algunas situaciones en matemáticas donde surgen este tipo de problemas que no tienen nada que ver con las unidades físicas.

En cálculo tenemos$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$dónde$F(x)$es cualquier antiderivada de$f(x)$. ¿Qué pasaría si alguien viniera y preguntara si una nueva operación$I(f,a,b) = F(b) + F(a)$tiene algún significado útil en términos de la función original$f(x)$e intervalo$[a,b]$. No, porque si cambias la antiderivada cambias la respuesta . Para dos antiderivadas cualesquiera$F(x)$y$G(x)$de$f(x)$, se diferencian por una constante, digamos$G(x) = F(x) + C$. Esto significa que una diferencia de antiderivadas de$f(x)$a$a$y$b$es independiente de la elección de antiderivadas sino una suma de antiderivadas de$f(x)$a$a$y$b$no es:

$$G(b) - G(a) = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$$ tiempo $$G(b) + G(a) = (F(b) + C) + (F(b) + C) = F(b) + F(a) + 2C,$$ lo cual no es $F(b) + F(a)$a no ser que $C = 0$(es decir, $G(x) = F(x)$). Así que una diferencia de valores de una antiderivada de $f(x)$es un número bien definido en términos de la función original $f(x)$, pero una suma de valores de una antiderivada no lo es. Si desea proporcionar un número real definido a partir de una antiderivada de $f(x)$, y hacer que ese número definido sea determinado únicamente por $f(x)$y no la elección de la antiderivada, las diferencias tienen sentido pero las sumas no. Por cierto, esto tiene un papel en la física: la energía potencial solo se define hasta una constante aditiva general, lo que explica por qué una diferencia de valores de energía potencial tiene un significado físico pero una suma de valores de energía potencial no.

Otro ejemplo es en geometría. Sumamos ángulos pero nunca multiplicamos ángulos. ¿Hay algún problema matemático con la multiplicación de ángulos? Sí: la medición de ángulos se determina intrínsecamente solo hasta un múltiplo entero de$2\pi$, y esta propiedad se respeta en la suma pero no en la multiplicación. Si$\theta_2 = \theta_1 + 2\pi{k}$y$\varphi_2 = \varphi_1 + 2\pi{\ell}$para algunos enteros$k$y$\ell$, después

$$\theta_2 + \varphi_2 = \theta_1 + \varphi_1 + 2\pi(k+\ell),$$ entonces las dos sumas $\theta_2 + \varphi_2$y $\theta_1 + \varphi_1$son de nuevo iguales a un múltiplo entero de $2\pi$. Sin embargo, $$\theta_2\varphi_2 = \theta_1\varphi_1 + 2\pi(k\varphi_1 + \ell\theta_1 + 2\pi{k}\ell)$$ y $k\varphi_1 + \ell\theta_1 + 2\pi{k}\ell$no es un número entero todo el tiempo. (Si ha tenido álgebra abstracta, podría decir que el "problema" aquí es que $2\pi{\mathbf Z}$es un subgrupo de ${\mathbf R}$pero no un ideal en ${\mathbf R}$, entonces el cociente ${\mathbf R}/2\pi{\mathbf Z}$se le puede dar la estructura de un grupo aditivo pero no un anillo.) Si quiere decir "pero puedo hablar de $\sin(xy)$para cualquier número $x$y $y$, y eso es multiplicar ángulos", yo diría que no: en la expresión $\sin(xy)$con variables reales $x$y $y$, los números $x$y $y$deben ser considerados como números reales, no como ángulos. La historia es diferente con $\sin(2x)$, que está bien definida cuando $x$se considera como un ángulo (un número hasta la suma de un múltiplo entero de $2\pi$). Esta distinción es la razón por la cual el $x$en una serie de Fourier $$f(x) = \sum_{n \in {\mathbf Z}} c_ne^{2\pi{i}nx}$$ puede pensarse como acostado en un círculo si lo desea, pero el $x$en una transformada de Fourier $$({\mathcal F}f)(x) = \int_{{\mathbf R}} f(y)e^{2\pi{i}xy}\,dy$$ no puede ni debe pensarse en la línea real: la transformada de Fourier no es una $2\pi$-función periódica de $x$, por lo que no está bien definido considerar la transformada de Fourier como una función en el círculo unitario.

En álgebra lineal, la traza de un operador lineal$A \colon V \rightarrow V$en un espacio vectorial de dimensión finita se define como$\sum_{i} a_{ii}$dónde$(a_{ij})$es una representación matricial de$A$en una base de$V$. Es crucial que esta suma sea independiente de la elección de la base . Usamos una base para calcular la traza, pero si desea que la traza sea una función puramente del operador $A$entonces tiene que tener el mismo valor sin importar la base que uses$V$. En un curso de álgebra lineal aprendes que la traza es independiente de la base utilizada para calcularla. Por otro lado, el "anti-traza"$\sum_{i} a_{i,n+1-i}$(suma en la antidiagonal) o "traza de borde" (suma alrededor del límite de una representación matricial de$A$) no están bien definidos porque si cambia la base, la nueva representación de matriz tiene un valor diferente para su trazo de borde o anti-traza. Es por eso que nunca escuchas a nadie hablar de tales sumas en álgebra lineal, ya que no son funciones bien definidas del operador original: dependen de la elección de la base. En la medida en que esté de acuerdo en que los conceptos geométricos no deberían depender de su elección de sistema de coordenadas, estará de acuerdo en que los conceptos útiles en álgebra lineal deberían ser independientes de la elección de la base.

En geometría algebraica, los polinomios no son funciones bien definidas en el espacio proyectivo ya que sus valores cambian si cambian las coordenadas homogéneas. Pero las razones de polinomios homogéneos del mismo grado dan la misma respuesta para todas las coordenadas homogéneas de un punto, y es por eso que las razones de polinomios homogéneos del mismo grado son las funciones naturales en el espacio proyectivo.

En matemáticas de la escuela primaria, la suma de fracciones no es $(a/b) + (c/d) = (a+c)/(b+d)$, ya que esta operación no está bien definida: aunque 1/2 = 5/10 y 3/4 = 6/8, esta forma falsa de combinar fracciones sumando numeradores y denominadores no da la misma respuesta cuando cambias el forma de escribir la fracción:$(1+3)/(2+4) = 4/6$y$(5+6)/(10+8) = 11/18 \not= 4/6$. Si tuviera que fijar una representación preferida de fracciones, como la representación que usa un numerador y un denominador relativamente primos con un denominador positivo, entonces "suma los numeradores y suma los denominadores" es una operación bien definida, pero sería muy incómodo usar porque dependería de la forma en que escribas las fracciones. Esta adición falsa tiene una aplicación interesante, que aprenderá si lee sobre las fracciones de Farey; simplemente no corresponde a la suma, por lo que no deberíamos denotarlo como +, y no se generaliza a fracciones donde el numerador y el denominador están en un anillo que carece de factorización única (y una opción preferida de múltiplo de unidad de cada distinto de cero elemento).

Si no cree que tener operaciones bien definidas es importante en matemáticas, entonces se encontrará con una montaña de problemas cuando aprenda álgebra (grupos de cocientes) o geometría diferencial (variedades), donde regularmente tiene que definir funciones haciendo una elección y luego verifique que la respuesta sea independiente de la elección que se hizo (una elección podría significar un representante de clase lateral o una elección de sistema de coordenadas cerca de un punto).

Y si no cree que se produzcan problemas de "unidades" en matemáticas, está equivocado. Están lo suficientemente ocultos como para que no los notes. Para medir ángulos preferimos usar radianes. Si quisiera utilizar otros sistemas de medición de ángulos, cambiarían las conocidas fórmulas de derivadas para funciones trigonométricas: while$\sin'(x) = \cos(x)$cuando$x$es un ángulo en radianes, si cambias$x$a grados entonces$\sin'(x) = (\pi/180)\cos(x)$. Preferimos radianes porque conducen a las fórmulas de cálculo más simples, sin factores extraños como$\pi/180$apareciendo En el análisis de Fourier, algunos prefieren definir la transformada de Fourier usando$e^{ixy}$en vez de$e^{2\pi{i}xy}$, y luego factores de$2\pi$o$\sqrt{2\pi}$comienzan a aparecer en otras fórmulas del análisis de Fourier, como la fórmula de Parseval. En álgebra lineal, preferimos tomar como isomorfismo "natural" de un espacio vectorial de dimensión finita$V$a su doble espacio dual el mapeo$v \mapsto {\rm ev}_v$, dónde${\rm ev}_v(\varphi) = \varphi(v)$para todos los funcionales lineales$\varphi$en$V$, pero hay otras posibilidades, a saber$v \mapsto c\cdot{\rm ev}_v$para cualquier elemento distinto de cero$c$del campo escalar subyacente. Los argumentos de teoría de categorías muestran que estos son esencialmente los únicos isomorfismos naturales posibles para el espacio doble-dual.

Ahora pasaré a las medidas físicas. Si desea sumar una longitud y un tiempo, debe reconocer que no existe un estándar natural para medir cualquiera de estas cantidades: dos sistemas de medición de longitud difieren por un factor de escala, y dos sistemas de medición de tiempo difieren por un factor de escala. Incluso si todos en nuestro planeta usaran el sistema métrico, no hace que ese sistema sea físicamente profundo. En algún momento del pasado, alguien eligió una longitud y la declaró de un metro, pero esa convención humana no tiene ninguna importancia física. (Si cree que las unidades métricas son en realidad una parte esencial del tejido de la naturaleza, entonces algo salió mal en su educación. Tal vez el "radio del electrón" o la longitud de Planck podrían considerarse una longitud física fundamental,$F = (9/5)C + 32$), pero para simplificar, limitémonos a las conversiones entre diferentes sistemas de medición como simples factores de escala.

Debido al "hecho" físico de que diferentes sistemas de medición del mismo concepto físico difieren en un factor de escala, una medición física puede considerarse como una función de valor real definida hasta un factor de escala positivo general . Si$f$y$g$son dos formas de medir la misma cantidad física, entonces$g = cf$por algo positivo$c$. Por ejemplo, si estamos midiendo longitud ($L$) y escribe$f_L$para la función de medidor y$g_L$para la función de los pies, entonces$c = 3.28$:$g_L(x) = 3.28f_L(x)$(es decir, para convertir de metros a pies, multiplique el valor de los metros por 3,28). Si estamos midiendo el tiempo ($T$), con$f_T$para la segunda función y$g_T$para la función de minutos, entonces$c = .016$:$g_T(y) = .016f_T(y)$(para convertir de segundos a minutos, multiplique el segundo valor por .016). Ahora pregúntese: si una función se define hasta un factor de escala general y otra función se define hasta un factor de escala general, ¿qué puedo hacer con ellas y mantener el resultado definido hasta un factor de escala general? Puedes multiplicarlos o dividirlos, pero no puedes sumarlos.

Por ejemplo, si$g_L = 3.28f_L$y$g_T = .016f_T$, después$g_L/g_T = 205f_L/f_T$. Recordando lo que significaban estas funciones arriba, esta última ecuación dice que si desea convertir de metros por segundo a pies por minuto, multiplique por 205. Y$g_Lg_T = .05248f_Lf_T$, así que para convertir de metros-segundos (lo que sea que eso signifique) a pies-minutos, multiplique por .05248.

Probemos finalmente la suma: si$g_L = 3.28f_L$y$g_T = .016f_T$, es$g_L + g_T = c(f_L+f_T)$para algunos$c > 0$? Esta es la prueba para saber si la suma de medidas está bien definida . Ya que$g_L + g_T = 3.28f_L + .016f_T$, usted quiere$3.28f_L + .016f_T = c(f_L + f_T)$, así que tú necesitas$(3.28-c)f_L = (c-.016)f_T$, y por lo tanto$f_L = ((c-.016)/(3.28-c))f_T$. En otras palabras, debe poder convertir entre longitud y tiempo: la longitud y el tiempo tienen que ser formas diferentes de medir lo mismo. ¿Son ellos? A nivel elemental no lo son, y por eso no se puede sumar longitud y tiempo físicamente.

Para sumar dos medidas físicas de forma bien definida, hemos visto (para los ejemplos de longitud y tiempo) que las dos cantidades que estás midiendo tienen que ser convertibles entre sí. En relatividad, aprendemos que la velocidad de la luz es una velocidad física fundamental, y si decidimos que es verdaderamente fundamental, podemos usarla para convertir entre longitud y tiempo. En relatividad general, es conveniente declarar que la velocidad de la luz es 1, lo que establece una conversión definida entre metros y segundos, o pies y segundos, o cualquier opción preferida para medir la longitud y el tiempo, de modo que el valor de la velocidad de la luz usando esos sistemas de medida resultan ser 1. (Es como nuestra preferencia por radianes a grados porque en cálculo el uso de radianes hace que ciertos coeficientes en fórmulas derivadas sean iguales a 1.puede agregar longitud y tiempo, y luego todo lo que está haciendo es agregar longitud y longitud. Busque en Google el término "unidades de Planck" para ver cómo las teorías físicas fundamentales conducen a una forma de convertir entre masa, longitud y tiempo.

Te dejo a ti decidir qué tiene que decir este punto de vista sobre la posibilidad física de sumar metros y pies. Sugerencia: tenga cuidado si está tratando con funciones del mismo objeto o de objetos diferentes.

Fundamentalmente no hay unidades en la física. El resultado de todas las medidas es siempre un número adimensional. Si dice que midió la longitud de un objeto de un metro, entonces el resultado de la medición no es en realidad la cantidad dimensional de un metro, lo que realmente hizo fue comparar la longitud del objeto con la longitud de alguna longitud. estándar y obtuviste el número adimensional de$1$como resultado de eso.

Las unidades son, en última instancia, solo construcciones humanas, históricamente se originaron a partir de la falta de conocimiento y medios para poder medir diferentes cantidades en términos mutuos. Por ejemplo, aparte de cuestiones prácticas, antes de que supiéramos sobre la relatividad especial, también era teóricamente imposible comparar un estándar de longitud con un estándar de tiempo de una manera que tuviera sentido desde el punto de vista de la física fundamental. El hecho de que todavía usemos diferentes unidades para intervalos de tiempo y longitudes es puramente por razones históricas, al mantener las unidades antiguas terminamos con factores de conversión extraños, en este caso la velocidad de la luz,$c$.

Supongamos entonces que descartamos la noción de unidades por completo y siempre trabajamos en unidades naturales donde$\hbar = c = G = 1$en el sentido literal donde también descartamos cualquier noción de dimensiones. Formalmente, la física seguiría siendo la misma buena vieja física, pero parece que ya no podemos hacer análisis dimensional. Pero dado que todo debería derivarse de la física, eso no puede ser correcto, por lo que debe ser posible recuperar los resultados del análisis dimensional sin siquiera invocar ninguna dimensión o unidad. De hecho, esto es posible y, como muestro a continuación, hacerlo explica por qué funciona.

Consideremos el caso de la relatividad especial, queremos derivar el límite clásico, pero trabajaremos en$c = 1$unidades. No se nos permite restaurar una dimensión$c$, pero por supuesto, somos libres de introducir un parámetro de escala adimensional$c$en ciertas ecuaciones y estudiar un límite de escala particular de la teoría. He explicado los detalles aquí . No debería sorprender que al poner$c$de vuelta en los lugares correctos y tomando el$c\to \infty$límite, recuperarás la mecánica clásica, aunque siempre mantengas que$c$es solo un parámetro de reescalado adimensional.

Ahora, en ese límite de escala, ya no puede comparar ciertas cantidades físicas que podría comparar entre sí antes de tomar ese límite, por ejemplo, energía y masa. Entonces, si considera alguna ecuación entre variables físicas válida en el límite de escala, entonces debe exigir que no haya factores de$c$presente en tal relación, y es esta demanda la que es formalmente equivalente al análisis dimensional.

Más en general, si juegas el mismo juego con$\hbar$y$G$, entonces verá que todo es cuestión de suponer un cierto límite de escala para que los factores de escala no aparezcan en una ecuación que relaciona cantidades físicas que están definidas en algún límite de escala apropiado. También puede argumentar al revés, asumiendo la validez del análisis dimensional y luego reconociendo que siempre puede construir cantidades de Planck que tengan cualquier dimensión arbitraria, lo que le permite relacionar cualquier cantidad física con cualquier otra utilizando cualquier función arbitraria. Pero claro, el que deseas no contiene$\hbar$,$c$o$G$, o al menos no todos. La pregunta es entonces ¿por qué no? La respuesta tendrá que involucrar algún argumento físico que efectivamente se reduzca a un argumento de escala.

El argumento de escala es, por lo tanto, un argumento más fundamental, se puede aplicar a situaciones en las que el análisis dimensional estándar no produce resultados útiles. Por ejemplo, puede considerar la teoría de la capa límite en la dinámica de fluidos, al cambiar la escala de las ecuaciones relevantes, termina con variables que describen la velocidad del flujo en términos de distancia desde el límite en la capa límite. En el caso ideal, hemos reescalado una cantidad infinita para que no pueda relacionar esta variable de distancia con otras variables de posición utilizadas fuera de la capa límite. Entonces, efectivamente, ha aparecido una nueva dimensión que divide las variables de longitud en dos cantidades incompatibles.

La física se ocupa de encontrar un modelo matemático para describir y predecir la realidad. Las unidades son una forma conveniente y útil para que distingamos entre cantidades que describen diferentes facetas de un sistema, y ​​sumar o restar cantidades de estas facetas no nos ayuda a describir o predecir la realidad. No está definido al igual que sumar vectores y escalares; no nos ayuda a construir una teoría útil al igual que agregar escalares y vectores no ayuda a los matemáticos a construir una teoría útil. Las reglas son el producto de comparar el experimento con el modelo; no son arbitrarios.

Puede haber alguna ecuación en la que puedas usar el producto de la masa y el período para describir el movimiento de un cometa; No podría decir de improviso. Pero nuestra definición de "velocidad" es solo etiquetar algún concepto particular en nuestro modelo matemático. (También podría describirse como la tasa de cambio en la distancia). La elección de "velocidad" es solo semántica. El nombre en sí es arbitrario aparte del hecho de que los oyentes entienden que transmite cierto significado, pero ahora estoy describiendo cómo funciona el lenguaje en lugar de la física.

Entonces, si puede encontrar una fórmula verificable experimentalmente que implique sumar números de diferentes unidades, entonces consideraríamos hacerlo y averiguar más sobre cómo funciona. (También serías famoso entre los científicos, me imagino.) Pero hasta que eso suceda, continuaremos usando esta regla general.

Seguramente puedes sumar o multiplicar dos números, esas son operaciones matemáticas simples. Pero la física no es matemática, es física. Adjuntamos unidades a los valores para representar algo físico y, por lo tanto, las unidades tienen significado.

Si bien un metro-segundo podría tener algún uso (a través de la multiplicación), es imposible sumar dos unidades diferentes. ¿Realmente puedes moverte 5 metros y 10 segundos? Seguro que puedes moverte 5 metros en 10 segundos (división), pero ir 5 metros y 10 segundos es una declaración sin sentido.

Por último, la velocidad se expresa en unidades de longitud por unidad de tiempo (por ejemplo, metros por segundo o millas por hora). La masa se da en kilogramos y el período en segundos, multiplicándolos se obtienen kilogramos-segundos, que no se parecen en nada a metros por segundo, por lo que no se puede obtener una velocidad multiplicando la masa y el tiempo, sin importar cuánto lo intente.

Agregaré un compañero matemático a las respuestas existentes.

A menudo nos interesan los espacios vectoriales reales unidimensionales. Si bien cada cosa es simplemente isomorfa a$\mathbb{R}$, existe un valor práctico en mantenerlos separados.

Si tienes un vector$\vec{v}$en un espacio vectorial (por ejemplo, un espacio vectorial de posibles medidas de distancia con signo) y otro vector$\vec{w}$en otro espacio vectorial (por ejemplo, un espacio vectorial de posibles medidas de duración con signo), simplemente no tiene sentido pedir$\vec{v} + \vec{w}$.

Todavía necesitamos poder computar con tales cosas; el método típico es elegir una unidad (por ejemplo, tal vez el espacio vectorial tenga un objeto que llamamos "metro"), y luego los elementos de este espacio vectorial se pueden obtener multiplicando un número real por la unidad; p.ej$3.5 \ \mathrm{meter}$.

Pero recuerda que mantenemos nuestros espacios vectoriales rectos;$3.5 \ \mathrm{meter}$no es un número real; es un miembro del espacio vectorial que$\mathrm{meter}$vino de. Solo tiene sentido agregarlo a otras cantidades del mismo espacio vectorial.

Pero, ¿y la multiplicación? En álgebra lineal existe una noción de producto tensorial que te permite multiplicar vectores de dos espacios vectoriales y producir un elemento de un tercero.

(detalle técnico: usamos una construcción específica del producto tensorial en espacios vectoriales reales unidimensionales para que sea estricto y simétrico)

Por ejemplo, si multiplicamos$\mathrm{meter}$por$\mathrm{second}^{-1}$, obtenemos un elemento en un tercer espacio vectorial, que escribimos como$\frac{\mathrm{meter}}{\mathrm{second}}$. También podemos dar sentido a la división, si queremos. Los diversos productos involucrados son conjuntamente asociativos y conmutativos, por lo que la aritmética habitual es correcta:

$$(3 \ \mathrm{meter}) \cdot (5 \ \mathrm{second}^{-1}) = (3 \cdot 5) \frac{\mathrm{meter}}{\mathrm{second}}$$

Lo siento por mi ingles !

Sobre todo quiero decir que comparto totalmente todo lo dicho anteriormente sobre análisis dimensional y homogeneidad de ecuaciones. Pero como suele ocurrir en la física, las cosas pueden ser más sutiles.

Puede consultar un libro antiguo bastante notable y frecuentemente reeditado: "Análisis dimensional" , PW Bridgman.

En este libro, encontrarás las ecuaciones: (evidentemente, se trata de la caída libre en el campo de gravedad. Tenemos$v=gt$ y $s=\frac{1}{2}g{{t}^{2}}$) :

$s+v=gt+\frac{1}{2}g{{t}^{2}}$

"Obviamente, esta es una ecuación completa en el sentido de que es verdadera y sigue siendo verdadera sin importar cómo cambien de tamaño las unidades fundamentales de longitud y tiempo" (p 42 de mi edición de 1922)

o peor :

$v{{\left( \sin \left( \frac{s+gt}{v} \right) \right)}^{\sinh \left( s-\frac{1}{2}g{{t}^{2}} \right)}}=gt\cosh \left( v-gt \right)$

"Esto nuevamente es una ecuación completa; no es dimensionalmente homogénea, y también ofende nuestras nociones preconcebidas de lo que es posible en el camino de las funciones trascendentales" (p 42 de mi edición de 1922)

"La posibilidad de ecuaciones como las que acabamos de considerar es en sí misma una refutación del método intuitivo de prueba del principio de homogeneidad dimensional que se da a veces" (p 42 de mi edición de 1922)

Y recordamos el chiste de Feynman sobre una teoría unificada de la física, que en la idea era de la forma (no recuerdo dónde lo leí):

${{\left( \overrightarrow{g}-\frac{GM}{{{r}^{2}}}\overrightarrow{{{e}_{r}}} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{\nabla }\wedge \overrightarrow{E}+\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t} \right)}^{2}}+.....=0$

En mi opinión, puedes sumar muy bien 10 metros y 5 segundos. La respuesta entonces es simplemente "10m + 5s". Si esa es la respuesta a su cálculo de la longitud que debe tener una barra de metal, entonces está bien. Si ahora vas a una persona que debería fabricar esa varilla para ti, te preguntará "¿cuánto tiempo debería ser?". Si le dices "15", te dirá "¿15 qué?". Es bastante comprensible: creo que no tengo que explicar aquí la necesidad de unidades. Entonces le dices "10 metros + 5 segundos", él te dirá que no puede hacer eso. Así que la utilidad de esta expresión es limitada. Entonces podrías pensar que puedes convertir eso en algo con lo que él pueda trabajar, por ejemplo, "15m". Pero aquí debe razonar por qué este es el valor correcto para elegir. Nadie dio un razonamiento satisfactorio hasta ahora.

La analogía matemática de esto es probablemente "¿cuánto es 10 + 5i?". ¿Quizás sean 15? Pero no, es solo "10 + 5i". Yo diría que de la misma manera que$\Bbb C$es una extensión de campo de$\Bbb R$por$i$, también lo son las cantidades cotidianas habituales que los físicos encuentran en realidad elementos de un campo$\Bbb R$extendido por trascendentales (sus unidades) m, s, etc. Con esto puede hacer expresiones salvajes arbitrarias como

$$\frac{10 \mathrm m+ 5\mathrm s}{2 \mathrm{kg} - \mathrm m}.$$

El único problema que ocurre es cuando intentas aplicar esto a la palabra real. Luego, debe pensar en cómo convertir esto nuevamente en "cuántos tictacs de mi reloj" o "cuántas líneas en mi barra de medición". Si encuentra una forma consistente de hacerlo, debe informarnos.