¿Tiempo de Planck, distancia, masa? ¿Por qué tomamos esos valores?

¡Excelente pregunta! Hasta donde yo sé, no hay nada como una justificación rigurosa de que los efectos de la gravedad cuántica deberían activarse en la masa/longitud/tiempo de Planck. Pero hay una justificación intuitiva , que es algo así:

Como sabrá, en la relatividad especial, muchas cantidades se pueden expresar como una serie de potencias en$\frac{v^2}{c^2}$.

Cuando estás trabajando con una situación física en la que$\frac{v}{c} \ll 1$, puede ignorar los términos de orden superior en esta expresión. Esto significa que$c$es, en cierto sentido, una velocidad característica a la que los efectos relativistas (los términos de orden superior) marcan una diferencia significativa. Por supuesto, esto no significa que pueda ignorar por completo la relatividad a velocidades inferiores a$c$, pero una buena regla general es que las correcciones relativistas son insignificantes a velocidades menores que aproximadamente$c/10$, que está a solo un orden de magnitud de distancia. En nuestra experiencia diaria, ocho órdenes de magnitud menos que la velocidad de la luz, ese factor de 10 en realidad no importa tanto.

Algo similar ocurre en la mecánica cuántica, aunque no tan claro. Básicamente, los efectos cuánticos incluyen cosas como la interferencia y la difracción de las funciones de onda, que se vuelven significativas cuando la longitud de onda es comparable al tamaño de los objetos involucrados. (Este es el resultado de la mecánica ondulatoria clásica; no entraré en detalles aquí). Así que puedes pensar en una cantidad como$\frac{\lambda}{r} = \frac{h}{rp}$desempeñando un papel similar al$\frac{v^2}{c^2}$hace en SR: le da una estimación del orden de magnitud de la escala en la que entran en juego los efectos cuánticos. Sin embargo, es una estimación muy contundente, porque las correcciones cuánticas toman muchas formas diferentes: piense en la mecánica cuántica como dando una serie de potencias en "$\frac{h}{\text{stuff}}$," no necesariamente$\frac{h}{rp}$exactamente. En la práctica, a menudo resulta que$\frac{h}{rmc}$es un mejor parámetro para usar;$\frac{h}{mc}$se llama la longitud de onda de Compton .

Finalmente, lo mismo puede decirse de la relatividad general, específicamente de la parte de ella que se ocupa de los campos gravitatorios intensos. En este caso el parámetro relevante es$\frac{2Gm}{rc^2}$, que aparece en varias soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein. Esto significa que el radio de Schwarzschild $\frac{2Gm}{c^2}$es un radio característico en el que los efectos relativistas generales se vuelven significativos.

Ahora, una teoría cuántica de la gravedad debería combinar todas estas cosas. Entonces, una cantidad genérica podría calcularse en gravedad cuántica como una serie de potencias multivariable como esta:

dónde$X_{0,0,0}$es el valor aproximado clásico de baja velocidad, y los subíndices se refieren a cuántas potencias de los diversos factores de corrección están involucradas. Cualquier término que tenga ceros para ciertas combinaciones de los subíndices, ya podemos calcularlo usando las teorías existentes. Por ejemplo, calcular alguna cantidad usando la relatividad especial nos da la serie de potencias

que se ocupa de todos los$(n,0,0)$términos. De manera similar, la mecánica cuántica se ocupa de todos los$(0,n,0)$términos, y GR todos los$(0,0,n)$términos - de hecho, debido a que GR incluye relatividad especial, también puede obtener el$(m,0,n)$términos de la misma. Los términos con índices de la forma$(m,n,0)$provienen de la combinación de la relatividad especial y la mecánica cuántica, a saber, la teoría cuántica de campos.

Entonces, ¿qué queda? Los términos restantes, que no están cubiertos por las teorías existentes, serán insignificantes a menos que tengamos un sistema que sea:

• muy denso,$r \sim \frac{2Gm}{c^2}$
• y muy pequeño,$r \sim \frac{h}{mc}$

Igualando estas condiciones, obtenemos$\frac{2Gm}{c^2} \sim \frac{h}{mc}$, o

(Bajé un factor de$\sqrt{\pi}$porque solo estamos trabajando en órdenes de magnitud), y volviendo a conectarnos a cualquiera de las condiciones,

Así que los tipos de sistemas donde el$(0,m,n)$Los términos en esta "serie maestra de potencias" que se vuelven relevantes son precisamente aquellos en los que la masa es del orden de la masa de Planck y el tamaño es del orden de la longitud de Planck. Para calcular el comportamiento de estos sistemas, necesitaremos una teoría que nos permita calcular esos$(0,m,n)$términos, y de hecho todos los términos con índices arbitrarios - en otras palabras, una teoría cuántica de la gravedad.

Porque el significado de estas constantes te da que la longitud de Planck y el tiempo de Planck son límites en el espacio, mientras que la masa de Planck es el límite inferior para un agujero negro (cualquier cosa más ligera se llamará partícula fundamental).

Debe entender las constantes de la siguiente manera: c convierte de segundos a metros, lo que demuestra que el tiempo y el espacio son iguales. Debe establecerlo en uno, es la constante menos interesante de las tres.

En unidades donde c=1, G tiene unidades de longitud/masa, por lo que convierte la unidad de masa en una unidad de longitud. La longitud asociada con la masa es el radio del agujero negro de esa masa dada, hasta un factor pequeño.

hbar le indica la incertidumbre de Energía/momentum tiempo/posición, de modo que el radio en el que la longitud de onda compton de un agujero negro es comparable a su tamaño es la longitud de Planck.

Esta es la distancia más pequeña que puede sondear, ya que se requiere una partícula de energía de Planck para sondear la longitud de Planck, y producirá un agujero negro del tamaño de la longitud de Planck. Entonces, a diferencia de los aceleradores, donde las energías más altas sondean distancias más cortas, a escalas de energía más altas que la masa de Planck, no sondeas distancias más cortas, sino que terminas creando grandes agujeros negros.

Esto significa que, hasta factores pequeños, la longitud de Planck y el tiempo de Planck son las distancias más cortas que puede medir. Una aplicación del positivismo lógico le permite concluir que las distancias más cortas probablemente no tengan sentido en la gravedad cuántica. La masa de Planck es el límite entre una partícula elemental y un agujero negro. Este es un análisis dimensional, por lo que solo confía en él hasta un factor adimensional.

Lo interesante es que la constante universal de gravitación ni siquiera es una constante fija (¿ por qué no hay precisión en el valor medido de$G$? )