¿Cómo recuperar unidades?

Esta es una buena pregunta - como en el ejemplo con$L,\lambda$proporciona, no todos los cambios de escala ni todos los conjuntos de constantes son válidos.

La receta para el conjunto de buenas unidades naturales es la siguiente: toma todas las unidades que aparecen en tu teoría y crea un espacio con una dimensión para cada una de ellas. Digamos que tenemos una teoría con el tiempo, la longitud y la energía, entonces tenemos un espacio tridimensional. Entonces puedes clasificar una cantidad de unidades$[ \rm length^2 \cdot time]$como vector en este espacio$(2,1,0)$, tomas la potencia como la longitud del vector en la dirección respectiva. Ahora considere esta declaración: cada conjunto de constantes que definen un conjunto de unidades adimensionales debe formar una base de este espacio. En este caso, probablemente escogeríamos$[c]=[\rm m\cdot s^{-1}] \to (1,-1,0)$,$[\hbar]=[\rm J\cdot s] \to (0,1,1)$y una unidad de tiempo específica, podría ser incluso un segundo$[1 \rm s]=[ \rm s] \to (1,0,0)$.

¿Por qué linealmente independientes? Porque entonces, cuando obtenemos un resultado adimensional que debería ser, digamos$\rm[m]\to (0,1,0)$, hay una forma única de componer este vector a partir de la base: esta es una propiedad muy básica de una base. Pero en lugar de sumar y restar los vectores, multiplicamos y dividimos. por ejemplo, para obtener$(0,1,0)$tenemos que restar$(1,-1,0)$y añadir$(1,0,0)$, por lo que su resultado se multiplicaría por$1 \,{\rm s}/c$.

Tal vez esto sea demasiado abstracto, pero considere esto: ciertamente sabe que dos constantes de dimensiones de longitud no son linealmente independientes en este sentido. Entonces no puedes usarlos. Etc. Solo hay que tener cuidado de no introducir una degeneración de este tipo pero por lo demás está bien. ¡Esto se debe a que, sorprendentemente, las constantes físicas relevantes no parecen tener este tipo de degeneración! Este es un hecho interesante: parece que solo hay una capa fundamental de interacción, no parece haber una "segunda escala" fundamental real para la física.

"¡Noé!", dijo el Señor, "Constrúyeme un arca de 300 codos de largo (137,16 m, 450 pies), 50 codos de ancho (22,86 m, 75 pies) y 30 codos de alto (13,716 m, 45 pies). ¿Cuántos ¿Cuántos codos cúbicos de volumen mide su arca? ¿Cuántos codos cuadrados de madera necesita su arca en el exterior? Haga sus cálculos sabiamente antes de ordenar madera del patio lumbar local y asegúrese de no pagar de más, el propietario es un goniff y robará tu siclo cobrándote los pies!"

Supongo que esto está en la línea de la pregunta, ¿verdad? La misma razón entre pies y codos aparecerá tres veces, una vez a la potencia de uno, dos y tres. Entonces, ¿cómo nos aseguramos de que no perdamos de vista eso? Manteniendo la unidad de longitud en la ecuación. 300 codos x 50 codos x 30 codos son 450.000 codoscubitos. La respuesta 450.000 no es correcta. Del mismo modo, si calculamos con$\bar{h}$y c, incluso si$\bar{h}=c=1$, la respuesta debe ser dada como$1\bar{h}c$en lugar de 1! En este caso, podemos insertar cualquier otra conversión de unidades que necesitemos usando los valores de$\bar{h}$yc en la respuesta y llegar al valor numérico correcto en esas nuevas unidades.