¿Cuándo se puede usar la regla de Leibniz para la integración?

TL;DR, si la derivada parcial$\frac{\partial f}{\partial t}$es conjuntamente continua en las variables$x$y$t$, entonces funciona la regla de Leibniz. Si usa la integral de Lebesgue (que le da el teorema de convergencia dominada), esta condición se puede relajar.

Regla de Leibniz para la integración de Riemann

Cuando se trabaja con integrales de Riemann, el criterio estándar para cambiar un límite y un signo integral es la siguiente declaración (este es, de hecho, un caso especial del teorema de convergencia dominada), que se basa en la convergencia uniforme:

Teorema 1. (Intercambio de límites e integrales) Si$g_n : [a, b] \to \mathbb{R}$es una secuencia de funciones integrables de Riemann que converge uniformemente a una función integrable de Riemann$g : [a, b] \to \mathbb{R}$, entonces

$$\lim_{n \to \infty} \int_a^b g_n(x)\mathrm{d}x = \int_a^b g(x)\mathrm{d}x.$$

Usando este resultado, podemos establecer una regla de Leibniz para la integración de Riemann. Debido a que la notación con múltiples variables puede resultar confusa, definamos$F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ser la función

$$F(t) = \int_a^b f(x, t)\mathrm{d}x,$$ dónde$f : [a, b] \times \mathbb{R}$es la función en su pregunta. por un fijo$t_0 \in \mathbb{R}$, nos gustaría saber si$F'(t_0)$existe y si se puede obtener mediante la regla de Leibniz. La observación clave es que podemos escribir la diferenciación como el límite $$\tag{1} F'(t_0) = \lim_{h \to 0} \frac{F(t_0 + h) - F(t_0)}{h} = \lim_{h \to 0} \int_a^b \frac{f(x, t_0 + h) - f(x, t_0)}{h} \mathrm{d}x.$$ Para aplicar el Teorema 1, nos gustaría que el cociente de diferencias convergiera uniformemente. (Es decir, para cada secuencia$h_n \to 0$, el cociente de la diferencia$\frac{f(x, t_0 + h_n) - f(x, t_0)}{h_n}$debe converger uniformemente en$x$.) Sin embargo, el cociente de diferencia es un poco difícil de manejar, pero podemos usar el teorema del valor medio para escribir en su lugar $$\tag{2} F'(t_0) = \lim_{h \to 0} \int_a^b \frac{\partial f}{\partial t}(x, t_0 + h_x) \mathrm{d}x,$$ dónde$|h_x| \leq |h|$para todos$x \in [a, b]$. Esto conduce al siguiente resultado.

Teorema 2. (Regla de Leibniz para la integración de Riemann) Sea$f, F, t_0$definirse como arriba. Si$\frac{\partial f}{\partial t}$es continua en un rectángulo$[a, b] \times [t_0 - \delta, t_0 + \delta]$, entonces$F'(t_0)$existe y está dada por la fórmula

$$F'(t_0) = \int_a^b \frac{\partial{f}}{\partial t}(x, t_0) \mathrm{d}x.$$ En particular, si$\frac{\partial f}{\partial t}$es continua en todo$[a, b] \times \mathbb{R}$,$F$es diferenciable en todas partes y puede determinarse mediante la regla de Leibniz.

Por$(2)$, es suficiente mostrar que para todas las sucesiones$h_n \to 0$, Las funciones

$$g_n(x) := \frac{\partial f}{\partial t}(x, t_0 + (h_n)_x)$$ convergen uniformemente a$g(x) := \frac{\partial f}{\partial t}(x)$. Esto se puede hacer utilizando la continuidad uniforme de$\frac{\partial f}{\partial t}$. Te dejaré el resto de la prueba.

Además, (si estoy entendiendo correctamente) su criterio de$f(x, t + 1 / n)$convergiendo uniformemente a$f(x, t)$no funciona exactamente Por un lado, no dice nada sobre la convergencia uniforme del cociente de diferencias en$(1)$ya que solo trabaja con pasos de tiempo discretos de$1 / n$. Incluso si$f(x, t + h)$debían converger uniformemente para$f(x, t)$como$h \to 0$, no garantizaría la convergencia uniforme del cociente de diferencias (¡ni siquiera garantiza la existencia de una derivada!).

Regla de Leibniz para la integración de Lebesgue

Finalmente, aquí hay un criterio para la regla de Leibniz si estamos usando la integral de Lebesgue.

Teorema 3. (Regla de Leibniz para la integración de Lebesgue) Sea$X$ser un subconjunto abierto de$\mathbb{R}$. Dejar$f : [a, b] \times X \to \mathbb{R}$sea ​​una función integrable de Lebesgue tal que la derivada parcial$\frac{\partial f}{\partial t}(x, t)$existe en todas partes. Supongamos además que existe una función integrable de Lebesgue$g : [a, b] \to [0, +\infty]$tal que$\int_a^b g(x)\mathrm{d}x$es finito y$\left|\frac{\partial f}{\partial t}(x, t)\right| \leq g(x)$para todos$t \in X$y$x \in [a, b]$. Entonces

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_a^b f(x, t)\mathrm{d}x = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial t}(x, t) \mathrm{d}x.$$

Observe que el Teorema 3 reemplaza al Teorema 2 porque las funciones continuas están acotadas en subconjuntos compactos. Configuración$X = [t_0 - \delta, t_0 + \delta]$y entorno$g : X \to \mathbb{R}$ser un límite constante de$\frac{\partial f}{\partial t}$en$X$, se sigue el teorema 2.

Podría decirse que la demostración del Teorema 3 es más fácil que en el caso de la integración de Riemann, al menos si uno está equipado con la maquinaria de la teoría de la medida. Después de obtener$(2)$, el resultado se sigue directamente del teorema de la convergencia dominada.