∣∣∫10ddtu(tx)dt∣∣≤∫10∑Ni=1|xi|∣∣∂u(tx)∂xi∣∣dt|∫01ddtu(tx)dt|≤∫01∑i=1N|xi| |∂u(tx)∂xi|dt\left|\int_0^1\frac d{dt}u(tx)\,dt\right|\le\int_0^1\sum_{i=1}^N|x_i |\left|\frac{\parcial u(tx)}{\parcial x_i}\right|dt para u∈C1c(RN)u∈Cc1(RN)u\in C^1_c(\Bbb{R}^N )

Question

∣∣∫10ddtu(tx)dt∣∣≤∫10∑Ni=1|xi|∣∣∂u(tx)∂xi∣∣dt|∫01ddtu(tx)dt|≤∫01∑i=1N|xi| |∂u(tx)∂xi|dt\left|\int_0^1\frac d{dt}u(tx)\,dt\right|\le\int_0^1\sum_{i=1}^N|x_i |\left|\frac{\parcial u(tx)}{\parcial x_i}\right|dt para u∈C1c(RN)u∈Cc1(RN)u\in C^1_c(\Bbb{R}^N )

desigualdad
integración
Matemáticas
análisis real
derivada parcial
análisis funcional

Nunzio Dimola

Es mi primera pregunta así que disculpe si probablemente no esté muy bien escrita. Leyendo la prueba de la desigualdad de Morrey (Teorema 9.12 en " Análisis funcional, espacios de Sobolev y ecuaciones diferenciales parciales " de H. Brezis) me quedé atascado en la siguiente desigualdad:

| tu (X) - tu (0) | = | \int_{0}^{1} \frac{d}{d t} tu (t X) d t | \leq \int_{0}^{1} \sum_{i = 1}^{norte} | X_{i} | | \frac{\partial tu (t X)}{\partial X_{i}} | d t

$|u(x)-u(0)|=\left|\int_{0}^{1} \frac{d}{dt}u(tx)\,dt \right|\leq \int_{0}^{1}\sum_{i=1}^{N}|x_{i}|\left| \frac{\partial u (tx)}{\partial x_{i}}\right| dt$ con

x \in R^{N}

$x \in \mathbb{R}^{N}$ y

u \in C_{c}^{1} (R^{N})

$u \in C^{1}_{c}(\mathbb{R}^{N})$ . Soy nuevo en matemáticas avanzadas, ¿alguien puede darme algunos consejos al respecto? Pido disculpas si es algo trivial. ¡Muchas gracias por tu amabilidad! :)

Respuestas (1)

∣∣∫10ddtu(tx)dt∣∣≤∫10∑Ni=1|xi|∣∣∂u(tx)∂xi∣∣dt|∫01ddtu(tx)dt|≤∫01∑i=1N|xi| |∂u(tx)∂xi|dt\left|\int_0^1\frac d{dt}u(tx)\,dt\right|\le\int_0^1\sum_{i=1}^N|x_i |\left|\frac{\parcial u(tx)}{\parcial x_i}\right|dt para u∈C1c(RN)u∈Cc1(RN)u\in C^1_c(\Bbb{R}^N )

calvin khor · Answer 1

Dejar $x$ ser arreglado si $g:[0,1]\to \mathbb R^N, \ g(t):=tx$ , entonces $g'(t)=x$ . Por lo tanto, por la regla de la cadena multivariante
$\frac{d}{d t} tu (t X) = \frac{d}{d t} (tu \circ gramo) (t) = (\nabla tu) (gramo (t)) \cdot {gramo}^{'} (t) = X \cdot \nabla tu (t X) = \sum_{i = 1}^{norte} X_{i} \frac{\partial tu}{\partial X_{i}} (t X)$ $\frac d{dt} u(tx) = \frac d{dt} (u \circ g)(t) = (\nabla u)(g(t)) \cdot g'(t) = x\cdot\nabla u(tx) = \sum_{i=1}^N x_i \frac{\partial u}{\partial x_i} (tx)$
La integral satisface una desigualdad triangular $|\int f|\le \int |f|$ . Por eso
$\begin{aligned} | tu (X) - tu (0) | & \leq | \int_{0}^{1} \frac{d}{d t} tu (t X) d t | \\ \overset{s t mi pag 1.}{=} | \int_{0}^{1} X \cdot \nabla tu (t X) d t | \\ \leq \int_{0}^{1} | X \cdot \nabla tu (t X) | d t \\ = \int_{0}^{1} | \sum_{i = 1}^{norte} X_{i} \frac{\partial tu}{\partial X_{i}} (t X) | d t \\ \leq \int_{0}^{1} \sum_{i = 1}^{norte} | X_{i} | | \frac{\partial tu}{\partial X_{i}} (t X) | d t \end{aligned}$ $\begin{align} |u(x) - u(0)| &\le \left| \int_0^1 \frac{d}{dt} u(tx) dt \right| \\ &\overset{step1.} = \left| \int_0^1 x\cdot\nabla u(tx) \ dt \right| \\&\le \int_0^1 |x\cdot \nabla u(tx)| dt \\ &= \int_0^1 \left| \sum_{i=1}^N x_i \frac{\partial u}{\partial x_i} (tx)\right|dt \\ & \le \int_0^1 \sum_{i=1}^N |x_i| \left|\frac{\partial u}{\partial x_i} (tx)\right| dt \end{align}$ que es el RHS.

@NunzioDimola no hay problema; ¡Buena suerte con Brezis, es difícil pero gratificante!
En realidad, estoy estudiando la desigualdad de Morrey de "Apuntes sobre análisis funcional" de A. Bressan, y me he quedado atónito con otra desigualdad que implica $\nabla u$ , por lo que he tratado de encontrar explicaciones en el libro de Brezis, pero inmediatamente me he quedado atónito por la desigualdad que he planteado en la presente pregunta. Probablemente publicaré otra pregunta al respecto.

∣∣∫10ddtu(tx)dt∣∣≤∫10∑Ni=1|xi|∣∣∂u(tx)∂xi∣∣dt|∫01ddtu(tx)dt|≤∫01∑i=1N|xi| |∂u(tx)∂xi|dt\left|\int_0^1\frac d{dt}u(tx)\,dt\right|\le\int_0^1\sum_{i=1}^N|x_i |\left|\frac{\parcial u(tx)}{\parcial x_i}\right|dt para u∈C1c(RN)u∈Cc1(RN)u\in C^1_c(\Bbb{R}^N )

Nunzio Dimola

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