¿Por qué, cuando se estudian geodésicas en la métrica de Schwarzschild, se puede establecer WLOG
Corrígeme si me equivoco, pero ¿no son las ecuaciones de Euler-Lagrange para la coordenada
La métrica es esféricamente simétrica . Esto significa que el momento angular del sistema se conserva (puede mostrar esto directamente usando la métrica calculando los tres vectores de destrucción asociados con la rotación espacial y sus correspondientes cantidades conservadas) y, por lo tanto, el movimiento está contenido para estar en un plano. Si el movimiento es en un plano dado, entonces siempre existen coordenadas rotadas en las que ese plano corresponde al plano ecuatorial, por lo que no perdemos generalidad al suponer originalmente que la geodésica satisface esta restricción.
Si tiene el tiempo/energía, le recomendaría encarecidamente que intente calcular los vectores de muerte asociados con las rotaciones espaciales y que demuestre explícitamente lo que afirmo como cantidad de conservación del momento angular. También podrías hacerlo usando el teorema de Noether. En mi opinión, no hay nada como ensuciarse las manos al aprender estas cosas.