¿Cuándo conviene aplicar un cambio de variable durante la integración?

Question

¿Cuándo conviene aplicar un cambio de variable durante la integración?

integración
Matemáticas
sustitución
cambio de variable

un invitado

A menudo veo la técnica de cambio de variables aplicada al dominio de integración donde uno reemplaza el símbolo de integración con un derivado :

d X = d X \frac{d tu}{d tu} = \frac{d X}{d tu} d tu = {(\frac{d tu}{d X})}^{- 1} d tu

$dx = dx\frac{du}{du} = \frac{dx}{du}du = \left(\frac{du}{dx}\right)^{-1}du$

dónde $u(x)$ denota la variable de reemplazo. Esto aparentemente se basa en la interpretación de $dx$ y $du$ como infinitesimalmente "pequeñas piezas" que parece estar en disputa.

Sé que cuando se trata de integración, la forma correcta de aplicar este cambio de variables es a través de la integración por sustitución . Consideremos el siguiente ejemplo:

\int_{a}^{b} X^{3} d X \overset{tu (X) \equiv X^{2}}{=} \int_{tu (a)}^{tu (b)} \sqrt{tu} \cdot tu \underset{\frac{1}{2 X} = \frac{1}{2 \sqrt{tu}}}{\underset{⏟}{{(\frac{d tu}{d X})}^{- 1}}} d tu = \frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{b^{2}} tu d tu = {[\frac{{tu}^{2}}{4}]}_{tu = a^{2}}^{tu = b^{2}}

$\int_a^bx^3dx \stackrel{u(x) \equiv x^2}{=} \int_{u(a)}^{u(b)}\sqrt{u}\cdot u \underbrace{\left(\frac{du}{dx}\right)^{-1}}_{\frac{1}{2x} = \frac{1}{2\sqrt{u}}}du = \frac{1}{2}\int_{a^2}^{b^2}u\,du = \left[\frac{u^2}{4}\right]_{u=a^2}^{u=b^2}$

En realidad esto se obtiene a través de la integración por sustitución:

\int_{a}^{b} X^{3} d X = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} 2 X \cdot X^{2} d X \overset{tu (X) \equiv X^{2}}{=} \frac{1}{2} \int_{tu (a)}^{tu (b)} tu d tu = {[\frac{{tu}^{2}}{4}]}_{tu = a^{2}}^{tu = b^{2}}

$\int_a^bx^3dx = \frac{1}{2}\int_a^b2x\cdot x^2dx\stackrel{u(x) \equiv x^2}{=} \frac{1}{2}\int_{u(a)}^{u(b)}u\,du = \left[\frac{u^2}{4}\right]_{u=a^2}^{u=b^2}$

Ahora, para este ejemplo, la última descomposición en sustituto $u(x)$ y su derivado $u'(x)$ es obvio, pero a menudo encuentro que este no es el caso. Considere por ejemplo:

\int_{a}^{b} j_{0} (Exp (σ \cdot X)) d X

$\int_a^b J_0\left(\exp(\sigma\cdot x)\right)dx$

dónde $J_0$ denota la función de Bessel de primer tipo y orden. Encontrar tal descomposición aquí no es obvio, pero por otro lado es tentador aplicar un cambio de variables. $u(x) \equiv \exp(\sigma\cdot x)$ lo que lleva a:

\frac{1}{σ} \int_{Exp (σ a)}^{Exp (σ b)} \frac{j_{0} (tu)}{tu} d tu

$\frac{1}{\sigma}\int_{\exp(\sigma a)}^{\exp(\sigma b)} \frac{J_0(u)}{u}du$

que se puede resolver usando las funciones G de Meijer . Ahora en orden inverso es posible deducir la descomposición del integrando pero realizar la integración por sustitución es mucho más complicado.

Así que esto finalmente me lleva a mi pregunta. Dado que a menudo es más fácil (más obvio y más conveniente) aplicar un cambio de variables que realizar la integración por sustitución, ¿hay alguna limitación a este método (en términos de aplicabilidad) que deba tener en cuenta? ¿Puedo realizar siempre un cambio de variable o necesito cruzar su validez deduciendo la regla de sustitución correspondiente? ¿O los dos métodos son realmente (inherentemente) iguales?

david k

Creo que nunca he tenido las secuencias de ecuaciones.

d x = d x \frac{d u}{d u} = \frac{d x}{d u} d u

$dx = dx\frac{du}{du} = \frac{dx}{du}du$ hasta que leí tu pregunta. Me pregunto de dónde vino esto. No parece estar en ninguno de los enlaces que ofreces.

un invitado

@DavidK Esa secuencia es una forma larga de la ecuación

d x = (\frac{d}{d u} x) d u

$dx = \left(\frac{d}{du}x\right)du$ dónde

d x

$dx$ y

d u

$du$ se tratan como piezas independientes. Esto también se mencionó en uno de los artículos de Wikipedia (la versión de 2018). Sin embargo, esto parece discutible, ya que algunas fuentes mencionan que el símbolo

d x

$dx$ solo tiene sentido cuando se usa junto con la integral. Este artículo también menciona

d x = \dots d u

$dx = \dots du$ .

david k

Muchas cosas entran en Wikipedia. Notaste que esta derivación particular estuvo allí una vez y ahora no lo está; esto debería ser una pista de que hubo una razón para eliminarlo del artículo. si lo consideras

d x

$dx$ como mera parte de la notación integral,

d x = (\frac{d}{d u} x) d u

$dx = \left(\frac{d}{du}x\right)du$ no es realmente significativo, pero es un buen procedimiento formal ("formal" en el sentido de que tiene la forma de una ecuación) para usar al reescribir la integral. si lo consideras

d x

$dx$ como un diferencial entonces puedes probar

d x = (\frac{d}{d u} x) d u

$dx = \left(\frac{d}{du}x\right)du$ (dónde

\frac{d}{d u} x

$\frac{d}{du}x$ es una derivada)...

david k

... sin pretender que

\frac{d}{d u} x

$\frac{d}{du}x$ es

d x

$dx$ dividido por

d u .

$du.$ De cualquier manera, no confiamos en las nociones del siglo XVII a las que el artículo de Wikipedia se refiere como la interpretación "histórica" de

d x

$dx$ y

d u .

$du.$ Es cierto que la intuición de esas nociones es tan poderosa que generalmente conduce a respuestas correctas y es útil en mnemotecnia.

Respuestas (2)

¿Cuándo conviene aplicar un cambio de variable durante la integración?

Creo que nunca he tenido las secuencias de ecuaciones. $dx = dx\frac{du}{du} = \frac{dx}{du}du$ hasta que leí tu pregunta. Me pregunto de dónde vino esto. No parece estar en ninguno de los enlaces que ofreces.
@DavidK Esa secuencia es una forma larga de la ecuación $dx = \left(\frac{d}{du}x\right)du$ dónde $dx$ y $du$ se tratan como piezas independientes. Esto también se mencionó en uno de los artículos de Wikipedia (la versión de 2018). Sin embargo, esto parece discutible, ya que algunas fuentes mencionan que el símbolo $dx$ solo tiene sentido cuando se usa junto con la integral. Este artículo también menciona $dx = \dots du$ .
Muchas cosas entran en Wikipedia. Notaste que esta derivación particular estuvo allí una vez y ahora no lo está; esto debería ser una pista de que hubo una razón para eliminarlo del artículo. si lo consideras $dx$ como mera parte de la notación integral, $dx = \left(\frac{d}{du}x\right)du$ no es realmente significativo, pero es un buen procedimiento formal ("formal" en el sentido de que tiene la forma de una ecuación) para usar al reescribir la integral. si lo consideras $dx$ como un diferencial entonces puedes probar $dx = \left(\frac{d}{du}x\right)du$ (dónde $\frac{d}{du}x$ es una derivada)...
... sin pretender que $\frac{d}{du}x$ es $dx$ dividido por $du.$ De cualquier manera, no confiamos en las nociones del siglo XVII a las que el artículo de Wikipedia se refiere como la interpretación "histórica" de $dx$ y $du.$ Es cierto que la intuición de esas nociones es tan poderosa que generalmente conduce a respuestas correctas y es útil en mnemotecnia.

Mohammad Riazi-Kermani · Answer 1

Mohammad Riazi-Kermani

Cambio de variable y sustitución son lo mismo.

La diferencia está sólo en los nombres. En general, siempre que la sustitución hace que una integral sea más fácil de evaluar, cambiamos de variable.

un invitado

En realidad, mi pregunta no es sobre terminología. Entiendo que la integración por sustitución implica formalmente un "cambio de variable" pero por esto último me refería al truco de tratar

d x

$dx$ como una distancia infinitesimal y, por lo tanto, convirtiéndola en una derivada. Para mí no está claro si este truco se puede aplicar bajo cualquier circunstancia y si se relaciona o cómo se relaciona con la integración formalmente correcta por sustitución.

Mohammad Riazi-Kermani

@a_guest du=u'dx es la clave, dx no es una derivada, es un símbolo que representa el cambio linealizado en la variable

x

$x$

Chappers · Answer 2

Creo que lo que estás preguntando a veces se llama el teorema de sustitución inversa. Hace unos meses descubrí que alguien había escrito un artículo en el que se cuestionaba cómo se enseña la integración por sustitución, que puede resultarle esclarecedor: Gale, D. Teaching Integration by Substitution , The American Mathematical Monthly, vol. 101, núm. 6 (junio–julio de 1994), págs. 520–526.

Dado que es probable que todavía sea de pago, resumiré la parte particularmente relevante (página 4 de la copia en PDF):

Teorema de sustitución inversa si $h=(f \circ g) \cdot g'$ , $H'=h$ y $g$ tiene un inverso,
$(H \circ {gramo}^{- 1})^{'} = F .$ $(H \circ g^{-1})' = f.$

El artículo ofrece dos pruebas de esto, una que usa el teorema de la función inversa pero concluye que $f$ tiene una antiderivada, y otra que asume $f$ tiene una antiderivada $F$ , pero no necesita el teorema de la función inversa. El primero es seguramente un conjunto de hipótesis más útil, y esa prueba es la siguiente:

(H \circ {gramo}^{- 1})^{'} = (H^{'} \circ {gramo}^{- 1}) \cdot ({gramo}^{- 1})^{'} = ([(F \circ gramo) \cdot {gramo}^{'}] \circ {gramo}^{- 1}) \cdot ({gramo}^{- 1})^{'},

$(H \circ g^{-1})' = (H' \circ g^{-1}) \cdot (g^{-1})' = ([(f \circ g) \cdot g'] \circ g^{-1} ) \cdot (g^{-1})',$ por la regla de la cadena y la definición de

h

$h$ . El primer corchete se expande a

[(F \circ gramo) \circ {gramo}^{- 1}] \cdot ({gramo}^{'} \circ {gramo}^{- 1}),

$[(f \circ g) \circ g^{-1}] \cdot ( g' \circ g^{-1} ),$ y luego el primer paréntesis aquí se simplifica a

f

$f$ por asociatividad de la composición de funciones, por lo que tenemos

F \cdot ({gramo}^{'} \circ {gramo}^{- 1}) \cdot ({gramo}^{- 1})^{'},

$f \cdot (g' \circ g^{-1}) \cdot (g^{-1})',$ y los dos últimos términos son la derivada de

g \circ g^{- 1}

$g \circ g^{-1}$ , es decir, la función identidad, que tiene derivada

1

$1$ , y por lo tanto el resultado.

¿Cuándo conviene aplicar un cambio de variable durante la integración?

un invitado

david k

un invitado

david k

david k

Respuestas (2)

Mohammad Riazi-Kermani

un invitado

Mohammad Riazi-Kermani

Chappers

¿Cuál es la respuesta a ∫cos2xsinxsinx−cosxdx∫cos2⁡xsin⁡xsin⁡x−cos⁡xdx\int \frac{\cos^2x \sin x}{\sin x - \cos x} dx?

Contradicción entre integración por fracciones parciales y sustitución

∫x2+y2+z2≤1dxdydzx2+y2+(z−2)2∫x2+y2+z2≤1dxdydzx2+y2+(z−2)2\int_{x^2+y^2+z^2 \leq 1} \frac{dx\,dy\,dz}{x^2+y^2+(z-2)^2}

¿En qué me equivoqué al resolver ∫x2−1√x4dx∫x2−1x4dx\int\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}dx?

Sustitución trigonométrica y triángulos

Integración por sustitución: uso de sustituciones apropiadas con raíces de índice par

Verificar la integración de ∫2−x−x2√x2dx∫2−x−x2x2dx \int\frac{\sqrt{2-xx^2}}{x^2}dx

Resolviendo la integral indefinida ∫1x2+x+1dx∫1x2+x+1dx\int \frac{1}{x^2+x+1} dx

¿Por qué la integración por partes me da la respuesta incorrecta?

¿Por qué podemos eliminar el signo absoluto en este caso de sustitución trigonométrica?