Integración por sustitución: uso de sustituciones apropiadas con raíces de índice par

Question

Integración por sustitución: uso de sustituciones apropiadas con raíces de índice par

Sebastián

tengo las siguientes integrales

\int X \sqrt{X - 1} d X, y \int \sqrt{{mi}^{X} - 1} d X

$\int x\sqrt{x-1}\, dx, \quad \text{and} \quad \int \sqrt{e^x-1}\,dx$ No me interesa resolver integrales sino más bien una consideración que he pensado cuando he resuelto las integrales a mis alumnos de secundaria. Generalmente coloco las posiciones de tal manera que no haya doble signo. En otras palabras, colocaría en el primer caso

x - 1 = t

$x-1=t$ y en el segundo caso

e^{x} - 1 = t

$e^x-1=t$ . He encontrado que en el libro de texto adoptado, en el primer caso, la posición adoptada en cambio es:

X - 1 = t^{2}

$x-1=t^2$ En el segundo caso, sin embargo, puedo usar por analogía (

e^{x} - 1 = t^{2}

$e^x-1=t^2$ ) Es cierto que

x - 1 > 0

$x-1>0$ , y

t^{2} > 0

$t^2>0$ , pero si

X - 1 = t^{2} ⟹ t = \pm \sqrt{X - 1}

$x-1=t^2 \implies t=\pm \sqrt{x-1}$

¿Por qué elegiría el $+$ signo en lugar del signo menos cuando opero sustituciones debajo de la raíz cuadrada? Hay una razón específica?

Respuestas (2)

Integración por sustitución: uso de sustituciones apropiadas con raíces de índice par

usuario905694 · Answer 1

La respuesta será la misma independientemente de si eliges el $+$ o $-$ firmar.

Digamos que quieres integrar $\int \sqrt{f(x)} \, dx$ . Podemos escribir $t^2 = f(x) \implies t = \pm \sqrt{f(x)} \implies \pm t = \sqrt{f(x)}$ .

Caso $1$ : Tu eliges $t = \sqrt{f(x)}$ .

\frac{d t}{d X} = gramo (t) ⟹ d X = \frac{d t}{gramo (t)}

$\frac{dt}{dx} = g(t) \implies dx = \frac{dt}{g(t)}$

∴ \int \sqrt{F (X)} d X = \int t \frac{d t}{gramo (t)}

$\therefore \int \sqrt{f(x)} \, dx = \int t \, \frac{dt}{g(t)}$

Caso $2$ : Tu eliges $-t = \sqrt{f(x)} \implies t = -\sqrt{f(x)}$

\frac{d t}{d X} = - gramo (t) ⟹ d X = - \frac{d t}{gramo (t)}

$\frac{dt}{dx} = -g(t) \implies dx = -\frac{dt}{g(t)}$

∴ \int \sqrt{F (X)} d X = \int - t \cdot (- \frac{d t}{gramo (t)}) = \int t \frac{d t}{gramo (t)}

$\therefore \int \sqrt{f(x)} \, dx = \int -t \cdot \left(\, -\frac{dt}{g(t)} \right)= \int t \, \frac{dt}{g(t)}$

Como se demostró, en ambos casos, se obtiene el mismo resultado.

Lo importante es que elijas uno u otro. Es fácil estropear esto con algo como $\int_{-1}^1 x^2 dx$ , que si no tiene cuidado puede terminar siendo evaluado incorrectamente como 0.

Arizus · Answer 2

Si lo tomas $t = -\sqrt{x-1}$ (y por lo tanto $-t = \sqrt{x-1}$ para cuando haces la sustitución) entonces:

\frac{d t}{d X} = - \frac{1}{2 \sqrt{X - 1}},

$\frac{dt}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{x-1}},$

d X = - 2 \sqrt{X - 1} d t .

$dx = -2\sqrt{x-1}dt.$

Pero observe que cuando vuelve a sustituir esto, los signos menos se cancelan, por lo que puede continuar con normalidad.

Integración por sustitución: uso de sustituciones apropiadas con raíces de índice par

Sebastián

Respuestas (2)

usuario905694

ian

Arizus

¿Cuál es la respuesta a ∫cos2xsinxsinx−cosxdx∫cos2⁡xsin⁡xsin⁡x−cos⁡xdx\int \frac{\cos^2x \sin x}{\sin x - \cos x} dx?

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