¿Por qué la integración por partes me da la respuesta incorrecta?

Question

¿Por qué la integración por partes me da la respuesta incorrecta?

integración
Matemáticas
sustitución
ecuaciones diferenciales ordinarias

julian risos

Estoy resolviendo una ecuación diferencial de primer orden.

\frac{d y}{d X} + 2 X y = X

$\frac{dy}{dx}+2xy=x$

Multipliqué por el factor de integración para obtener la ecuación en la forma $f\left(x\right)\frac{dy}{dx}+f'\left(x\right)y=f\left(x\right)Q$

F (X) = {mi}^{X^{2}}

$f\left(x\right)=e^{x^{2}}$

entonces

{mi}^{X^{2}} \frac{d y}{d X} + 2 X {mi}^{X^{2}} y = X {mi}^{X^{2}}

$e^{x^{2}}\frac{dy}{dx}+2xe^{x^{2}}y=xe^{x^{2}}$

reorganizado

{mi}^{X^{2}} y = \int X {mi}^{X^{2}} d X

$e^{x^{2}}y=\int{xe^{x^{2}}}dx$

Sé que la forma más fácil y correcta de hacer esto es usando la sustitución de au por $e^{x^{2}}$ pero traté de usar la integración por partes y obtuve una respuesta completamente diferente al uso de au sub.

Obtuve

y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4 X^{2}} + \frac{C}{{mi}^{X^{2}}}

$y=\frac{1}{2}-\frac{1}{4x^{2}}+\frac{c}{e^{x^{2}}}$

La respuesta correcta usando u sub es

y = \frac{1}{2} + \frac{C}{{mi}^{X^{2}}}

$y=\frac{1}{2}+\frac{c}{e^{x^{2}}}$

No entiendo por qué recibo una respuesta diferente.

si tomo $u = x$ y $\frac{dv}{dx} = e^{x^{2}}$

Usando integración por partes obtengo

\int X {mi}^{X^{2}} = X (\frac{1}{2 X} {mi}^{X^{2}}) - \int \frac{1}{2 X} {mi}^{X^{2}} d X

$\int{xe^{x^{2}}}=x\left(\frac{1}{2x}e^{x^{2}}\right)-\int\frac{1}{2x}e^{x^{2}}dx$

¿Alguien puede explicar qué estoy haciendo mal o por qué esto me está dando una respuesta diferente? ¿O por qué no puedo usarlo para obtener la misma respuesta?

Gracias a quien pueda decirme que estoy haciendo mal.

Angélica

Bueno para uno,

\frac{d}{d x} (\frac{1}{2 x} e^{x^{2}}) \neq e^{x^{2}}

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2x}e^{x^2}\right)\neq e^{x^2}$ . De hecho, no hay expresión para

v

$v$ tal que

\frac{d v}{d x} = e^{x^{2}}

$\frac{dv}{dx}=e^{x^2}$ .

KCD

@Angelica no es cierto que "no hay expresión" para una función con derivada

e^{x^{2}}

$e^{x^2}$ . Por ejemplo,

v (x) = \int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t

$v(x) = \int_0^x e^{t^2}\,dt$ es una expresión tal que

d v / d x = e^{x^{2}}

$dv/dx= e^{x^2}$ . Qué

e^{x^{2}}

$e^{x^2}$ carece es una antiderivada elemental en el sentido técnico de funciones elementales. No le falta un derivado en absoluto. De hecho, una forma de describir el teorema fundamental del cálculo es que muestra que toda función continua en un intervalo tiene una antiderivada en ese intervalo (como la función continua

e^{x^{2}}

$e^{x^2}$ en

(- \infty, \infty)

$(-\infty,\infty)$ ).

Tom Keen

El error proviene de la integración de

e^{x^{2}}

$e^{x^2}$ , de hecho, la integral de esa función no tiene una forma cerrada en términos de funciones elementales.

Angélica

@KCd Eso es lo que quise decir, supongo que debería haber sido más específico que cualquier expresión para

v

$v$ probablemente no va a ser útil para la integración

David C Huang

Insistir en que una herramienta tan fundamental como la integración por partes da una respuesta incorrecta suele ser indicativo de un fallo del usuario y "probablemente" no de la herramienta.

lutz lehmann

También se podría llevar la ecuación a la forma

y^{'} = - 2 x (y - \frac{1}{2})

$y'=-2x(y-\frac12)$ , que ahora es separable.

julian risos

Gracias chicos, realmente lo aprecio. Ahora entiendo lo que estaba haciendo mal. ¡Estaba tan frustrado el otro día y siento que se me quitó una gran carga al saber que las matemáticas no están fundamentalmente rotas!

Respuestas (4)

¿Por qué la integración por partes me da la respuesta incorrecta?

Bueno para uno, $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2x}e^{x^2}\right)\neq e^{x^2}$ . De hecho, no hay expresión para $v$ tal que $\frac{dv}{dx}=e^{x^2}$ .
@Angelica no es cierto que "no hay expresión" para una función con derivada $e^{x^2}$ . Por ejemplo, $v(x) = \int_0^x e^{t^2}\,dt$ es una expresión tal que $dv/dx= e^{x^2}$ . Qué $e^{x^2}$ carece es una antiderivada elemental en el sentido técnico de funciones elementales. No le falta un derivado en absoluto. De hecho, una forma de describir el teorema fundamental del cálculo es que muestra que toda función continua en un intervalo tiene una antiderivada en ese intervalo (como la función continua $e^{x^2}$ en $(-\infty,\infty)$ ).
El error proviene de la integración de $e^{x^2}$ , de hecho, la integral de esa función no tiene una forma cerrada en términos de funciones elementales.
@KCd Eso es lo que quise decir, supongo que debería haber sido más específico que cualquier expresión para $v$ probablemente no va a ser útil para la integración
Insistir en que una herramienta tan fundamental como la integración por partes da una respuesta incorrecta suele ser indicativo de un fallo del usuario y "probablemente" no de la herramienta.
También se podría llevar la ecuación a la forma $y'=-2x(y-\frac12)$ , que ahora es separable.
Gracias chicos, realmente lo aprecio. Ahora entiendo lo que estaba haciendo mal. ¡Estaba tan frustrado el otro día y siento que se me quitó una gran carga al saber que las matemáticas no están fundamentalmente rotas!

Kman3 · Answer 1

Como se menciona en los comentarios, cometes un error cuando asumes

\frac{d v}{d X} = {mi}^{X^{2}} ⟹ v = \frac{{mi}^{X^{2}}}{2 X}

$\frac{dv}{dx}=e^{x^2} \implies v=\frac{e^{x^2}}{2x}$

Esto no es cierto (¡usa la regla del cociente y compruébalo tú mismo!). $e^{x^2}$ no tiene antiderivadas elementales: en otras palabras, no puedes integrarlo y obtener un resultado en términos de funciones elementales , como funciones polinómicas, funciones trigonométricas, funciones exponenciales, etc.

Intenté realizar la integración por partes con $\frac{dv}{dx}=x$ y $u=e^{x^2}$ , y a menos que cometí un error en algún lugar de mis cálculos, terminas restando una integral que tiene $e^{x^2}$ multiplicado por potencias superiores de $x$ , así que no llegas a ninguna parte*. Yo sugeriría el $u$ -método de sustitución en su lugar como lo ha descrito.

* En realidad, acabo de encontrar esta respuesta que logra hacerlo, pero solo mediante el uso de series infinitas. Entonces es posible, pero dudo que realmente valga la pena todo ese trabajo.

Gracias hombre. Supongo que mi suposición era completamente errónea, pero ahora que lo dices tiene mucho sentido. Me pregunto si e a la potencia de todas las potencias de x no tienen una integral elemental. Solo estoy en la escuela secundaria, así que todavía estoy aprendiendo. Definitivamente voy a tratar de descubrir esto yo mismo.

tommik · Answer 2

\int X {mi}^{X^{2}} d X

$\int x e^{x^2}dx$

Es inmediato siendo el integrando en la forma $f' e ^f$ .

\frac{1}{2} \int 2 X {mi}^{X^{2}} d X = \frac{1}{2} {mi}^{X^{2}}

$\frac{1}{2}\int 2x e^{x^2}dx =\frac{1}{2}e^{x^2}$

f wright · Answer 3

Tienes,

{mi}^{X^{2}} y = \int X {mi}^{X^{2}} d X = \frac{1}{2} \int d ({mi}^{X^{2}}) = \frac{1}{2} ({mi}^{X^{2}} + C)

$e^{x^2}y=\int xe^{x^2}dx=\frac{1}{2}\int d(e^{x^2})=\frac{1}{2}(e^{x^2}+C)$ dónde

C

$C$ es la constante de integración. Por lo tanto,

y = \frac{1}{2} (1 + C {mi}^{- X^{2}})

$y= \frac{1}{2}(1+ Ce^{-x^2})$ que satisface la ecuación diferencial.

Aprendiz de máquina · Answer 4

Solo agregaré que puede resolver esta ecuación diferencial ordinaria de una manera más simple. Esta ecuación diferencial ordinaria es separable.

\frac{d y}{d X} = X - 2 X y

$\dfrac{dy}{dx} = x -2xy$

\frac{d y}{d X} = X (1 - 2 y)

$\dfrac{dy}{dx} = x(1-2y)$

\frac{d y}{1 - 2 y} = X d X

$\dfrac{dy}{1-2y}=xdx$

- \frac{1}{2} en (1 - 2 y) = \frac{1}{2} X^{2} - \frac{1}{2} C

$-\dfrac{1}{2}\ln (1-2y) = \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}c$

en (1 - 2 y) = C - X^{2}

$\ln(1-2y)=c-x^2$

1 - 2 y = Exp (C) Exp (- X^{2})

$1-2y=\exp(c)\exp(-x^2)$

y = \frac{1 - Exp (C) Exp (- X^{2})}{2}

$y=\dfrac{1-\exp(c)\exp(-x^2)}{2}$

y = \frac{1}{2} - C_{0} Exp (- X^{2})

$y=\dfrac{1}{2}-c_0\exp(-x^2)$

Nuestra solución implica $1-2y>0 \implies y<1/2$ . Por eso, $c_0>0$ .

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