Resolviendo la integral indefinida ∫1x2+x+1dx∫1x2+x+1dx\int \frac{1}{x^2+x+1} dx

Question

Resolviendo la integral indefinida ∫1x2+x+1dx∫1x2+x+1dx\int \frac{1}{x^2+x+1} dx

fracciones
integración
Matemáticas
sustitución
análisis real
Integrales indefinidas

MBD

Quiero resolver la siguiente integral indefinida: (1)

\int \frac{1}{X^{2} + X + 1} d X

$\int \frac{1}{x^2+x+1} dx$ completando el cuadrado: (2)

= \int \frac{1}{(X + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}} d X

$=\int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}} dx$ Sustitución: (3)

tu = \frac{2 X + 1}{\sqrt{3}}

$u=\frac{2x+1}{\sqrt 3}$ trae: (4)

d X = \frac{\sqrt{3}}{2} d tu

$dx=\frac{\sqrt 3}{2} du$ (5)

= \frac{2}{\sqrt{3}} \int \frac{1}{{tu}^{2} + 1} d tu

$= \frac{2}{\sqrt 3}\int \frac{1}{u^2+1} du$ Entonces obteniendo la integral estándar (6)

= arcán (tu)

$= \arctan(u)$ y resolver la integral y sustituir atrás no es el problema. Pero tengo un problema para entender la sustitución en el paso (3). no se donde esta

\sqrt{3}

$\sqrt 3$ debajo de la línea de fracción proviene y cómo termina la fórmula en la integral estándar en (5) en el lado derecho. ¿Alguien podría explicar estos pasos con un poco más de detalle?

pionero

Intentar

u = x + \frac{1}{2}

$u=x+\frac{1}{2}$ o

u = 2 x + 1

$u=2x+1$ y mira lo que pasa. Es posible que funcione, puede que no. Solo un pensamiento. A menudo, las pruebas se resuelven de una manera un poco improvisada y desordenada, luego el matemático ordenará su prueba para presentar la forma más elegante.

Respuestas (2)

Resolviendo la integral indefinida ∫1x2+x+1dx∫1x2+x+1dx\int \frac{1}{x^2+x+1} dx

Intentar $u=x+\frac{1}{2}$ o $u=2x+1$ y mira lo que pasa. Es posible que funcione, puede que no. Solo un pensamiento. A menudo, las pruebas se resuelven de una manera un poco improvisada y desordenada, luego el matemático ordenará su prueba para presentar la forma más elegante.

miguel rozenberg · Answer 1

{(X + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} = {(\frac{2 X + 1}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} = \frac{3}{4} ({(\frac{2 X + 1}{\sqrt{3}})}^{2} + 1) = \frac{3}{4} ({tu}^{2} + 1) .

$\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=\left(\frac{2x+1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac{3}{4}\left(\left(\frac{2x+1}{\sqrt3}\right)^2+1\right)=\frac{3}{4}(u^2+1).$ Desde

\frac{2 x + 1}{\sqrt{3}} = u

$\frac{2x+1}{\sqrt3}=u$ , tenemos

{(\frac{2 X + 1}{\sqrt{3}})}^{'} d X = d tu

$\left(\frac{2x+1}{\sqrt3}\right)'dx=du$ o

\frac{2}{\sqrt{3}} d X = d tu

$\frac{2}{\sqrt3}dx=du$ o

d X = \frac{\sqrt{3}}{2} d tu .

$dx=\frac{\sqrt3}{2}du.$ De este modo,

\int \frac{1}{X^{2} + X + 1} d X = \int \frac{1}{\frac{3}{4} ({tu}^{2} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} d tu = \frac{2}{\sqrt{3}} \int \frac{1}{1 + {tu}^{2}} d tu .

$\int\frac{1}{x^2+x+1}dx=\int\frac{1}{\frac{3}{4}(u^2+1)}\cdot\frac{\sqrt3}{2}du=\frac{2}{\sqrt3}\int\frac{1}{1+u^2}du.$

clatratus · Answer 2

Aquí podemos adoptar un enfoque más general. Considere la integral

I (X; a, b, C) = \int \frac{d X}{a X^{2} + b X + C} = \int \frac{d X}{a (X + \frac{b}{2 a})^{2} + gramo}

$I(x;a,b,c)=\int\frac{\mathrm dx}{ax^2+bx+c}=\int\frac{\mathrm dx}{a(x+\frac{b}{2a})^2+g}$ Aquí

g = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$g=c-\frac{b^2}{4a}$ . Si asumimos que

4 a c > b^{2}

$4ac>b^2$ , entonces podemos hacer la sustitución

x + \frac{b}{2 a} = \sqrt{\frac{g}{a}} \tan u

$x+\frac{b}{2a}=\sqrt{\frac{g}{a}}\tan u$ lo que da

I (X; a, b, C) = \sqrt{\frac{gramo}{a}} \int \frac{{segundo}^{2} tu d tu}{gramo {broncearse}^{2} tu + gramo}

$I(x;a,b,c)=\sqrt{\frac{g}{a}}\int\frac{\sec^2u\,\mathrm du}{g\tan^2u+g}$

I (X; a, b, C) = \frac{tu}{\sqrt{a gramo}}

$I(x;a,b,c)=\frac{u}{\sqrt{ag}}$

I (X; a, b, C) = \frac{2}{\sqrt{4 a C - b^{2}}} arcán \frac{2 a X + b}{\sqrt{4 a C - b^{2}}} + C

$I(x;a,b,c)=\frac2{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}+C$ Enchufar

a = b = c = 1

$a=b=c=1$ para obtener su integral

Resolviendo la integral indefinida ∫1x2+x+1dx∫1x2+x+1dx\int \frac{1}{x^2+x+1} dx

MBD

pionero

Respuestas (2)

miguel rozenberg

clatratus

¿Cuál es la respuesta a ∫cos2xsinxsinx−cosxdx∫cos2⁡xsin⁡xsin⁡x−cos⁡xdx\int \frac{\cos^2x \sin x}{\sin x - \cos x} dx?

¿Cuál es la definición formal de una integral indefinida?

Diferencia entre función integral y antiderivada.

Cómo resolver esta integral indefinida

Justificación de la sustitución en la búsqueda de integrales indefinidas

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Evalúa ∫x381x2−16√dx∫x381x2−16dx\int\frac{x^3}{\sqrt{81x^2-16}}dx usando sustitución trigonométrica

¿Cuál es la aparente contradicción en esta integral?