∫x2+y2+z2≤1dxdydzx2+y2+(z−2)2∫x2+y2+z2≤1dxdydzx2+y2+(z−2)2\int_{x^2+y^2+z^2 \leq 1} \frac{dx\,dy\,dz}{x^2+y^2+(z-2)^2}

Estoy tratando de calcular la integral.

$$\int_{x^2+y^2+z^2 \leq 1}\frac{dx\,dy\,dz}{x^2+y^2+(z-2)^2}.$$

He intentado en dos métodos:

Coordenadas esféricas regulares, pero esto conduce a integrales y logaritmos realmente poco divertidos con números negativos dentro de ellos y otras bestias que prefiero evitar.

El otro método era probar coordenadas esféricas desplazadas,$x = r\sin(\theta)\cos(\phi), y=r\sin(\theta)\sin(\phi)$pero$z-2 = r\cos(\theta)$.

Ahora la integral es muy fácil pero encontrar los límites de integración es más difícil. Todavía tenemos$0 < \theta < \pi$y$0 < \phi < 2\pi$, creo, pero los límites en$r$son mas dificiles
En el límite mismo del dominio de integración tenemos$x^2+y^2+z^2 = 1$, entonces$r^2+4r\cos(\theta)+4 = 1$, entonces necesitamos tener$r^2+4r\cos(\theta) + 3 = 0$.

Esto sucede cuando

$$r = \frac{-4\cos(\theta)\pm\sqrt{16\cos^2(\theta)-12}}{2}.$$ No sé cómo nos ayuda esto o si voy en la dirección correcta.

La manera poco divertida:

$\int_{x^2+y^2+z^2 \leq 1}\frac{dxdydz}{x^2+y^2+(z-2)^2} = \int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{r^2\sin(\theta)}{r^2-4r\cos(\theta)+4}d\phi d\theta dr = 2\pi \int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi}\frac{r^2\sin(\theta)}{r^2-4r\cos(\theta)+4}d\theta dr$

Usar$u-$sustitución$u=\cos(\theta)$Llegar:

$2\pi \int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi}\frac{r^2\sin(\theta)}{r^2-4r\cos(\theta)+4}d\theta dr =-2\pi \int_{0}^{1}\int_{1}^{-1}\frac{r^2}{r^2-4ru+4}dudr = 2\pi\int_{0}^{1}\int_{-1}^{1}\frac{r^2}{r^2-4ru+r}dudr = 2\pi\int_{0}^{1}r^2[\frac{\ln(r^2-4ru+4)}{-4r}]_{-1}^{1}dr = -\frac{\pi}{2}\int_{0}^{1}r(\ln(r^2-4r+4) - \ln(r^2+4r+4))dr=-\pi\int_{0}^{1}r(\ln(|r-2|)-\ln(r+2))dr$

¿Es este el camino correcto? me parece muy desagradable...