Teoría del caos y determinismo

Bueno, sí. En un mundo puramente matemático donde se pueden especificar las condiciones iniciales con exactitud, los sistemas caóticos son totalmente deterministas. No es como un sistema cuántico con colapso de función de onda, cuya evolución nunca puede ser especificada exactamente por las condiciones iniciales.

Pero en la práctica, nunca podemos especificar (o saber) exactamente las condiciones iniciales. Por tanto, siempre habrá cierta incertidumbre en las condiciones iniciales, y tiene sentido caracterizar el comportamiento de un sistema en términos de su respuesta a esta incertidumbre . Básicamente, un sistema caótico es aquel en el que cualquier incertidumbre en el estado en el tiempo$t=0$conduce a incertidumbres exponencialmente mayores en el estado a medida que pasa el tiempo, y un sistema no caótico es aquel en el que cualquier incertidumbre inicial en el estado decae o al menos se mantiene estable con el tiempo.

En el primer caso (caótico), dado que no podemos conocer las condiciones iniciales con una precisión infinita, siempre habrá algún tiempo después del cual las predicciones del comportamiento del sistema se volverán esencialmente sin sentido: la incertidumbre se vuelve tan grande que se llena. la mayor parte del espacio de estado. Esto es efectivamente similar al comportamiento de un sistema verdaderamente no determinista (por ejemplo, cuántico), en el sentido de que nuestra capacidad para hacer predicciones sobre él es limitada, por lo que algunas personas llaman no deterministas a los sistemas caóticos.

La mecánica clásica es perfectamente integrable para dos cuerpos como sistema cerrado o aislado. Sin embargo, al principio se descubrió que existían problemas, donde Newton descubrió que no podía encontrar una solución para el movimiento de los planetas en forma completa. Hizo su famosa declaración de que Dios tenía que reajustar el sistema solar ahora y ellos. Poincaré resolvió el premio de Suecia por una solución a la estabilidad del sistema solar al demostrar que no existía tal solución. Esto fue lo que abrió la puerta a la teoría del caos, donde Poincaré desarrolló métodos de separatrices y perturbaciones sobre ellas. Para sistemas generales resulta que la mecánica newtoniana no es integrable,

La mecánica clásica para sistemas con tres o más cuerpos no se puede resolver en forma cerrada. Para cualquier$N$problema del cuerpo hay 3 ecuaciones para el centro de masa,$3$por el impulso,$3$para el momento angular y otro para la energía. Estos son$10$restricciones del problema. Un problema de N-cuerpos tiene$6N$grados de libertad. Para$N~=~2$esto significa que la solución viene dada por una primera integral de grado$2.$Para un problema de tres cuerpos esta primera integral tiene grado$8$. Esto se topa con el problema que ilustró Galois, que es que cualquier sistema raíz con grado$5$o mayores generalmente no tienen raíces algebraicas. Las primeras integrales para ecuaciones diferenciales son funciones que permanecen constantes a lo largo de una solución a esa ecuación diferencial. Entonces para$8$soluciones hay un polinomio de orden ocho$p_8(x)~=~\prod_{n=1}^8(x~-~\lambda_n)$, con$8$raíces distintas$\lambda_n$que son constantes a lo largo$8$soluciones Ya que$p_8(x)~=~p_5(x)p_3(x)$, una rama del álgebra llamada teoría de Galois nos dice que los polinomios de quinto orden no tienen un sistema algebraico general para encontrar sus raíces, o un conjunto de soluciones que sean algebraicas. Esto significa que cualquier sistema de grado superior a cuatro no es en general algebraico. En la raíz de la$N$-problema de cuerpo La teoría de Galois nos dice que no hay solución algebraica para$N~\ge~3$.

Un problema de la mecánica clásica es el problema del denominador que desaparece para tres cuerpos. Esto tiene un hamiltoniano.$H( J,~\theta)~=~H_0(J,~\theta)~+~\epsilon H_1(J,~\theta)$por$J~=~(J_1,~J_2)$y$\theta~=~(\theta_1,~\theta_2)$. Aquí una función generadora escrita de acuerdo a la variable$J^\prime$

El número de condiciones de resonancia que existen en la línea real son densos. dentro de cualquier$\epsilon$En la vecindad existirá un número infinitamente numerable de posibles condiciones de resonancia que corresponden a números racionales. A medida que la órbita de un planeta se desplaza, pasará por estas condiciones de resonancia y se perturbará caóticamente. Es de esperar que para números racionales simples, como$1/12$para la Tierra y Júpiter, en lugar de$1003/12000$se producen fuertes resonancias. Para números racionales más complejos se podría esperar que la inestabilidad sea más débil. En otras palabras, si la relación de frecuencias es \lq\lq suficientemente irracional\rq\rq$~$de modo que

Esta es la base del enfoque hamiltoniano de Greenberg sobre la teoría del caos. Esto se llama determinista porque las ecuaciones diferenciales son invariantes en el tiempo, por lo que el movimiento de una partícula está absolutamente determinado. Sin embargo. si tiene una ligera variación en las condiciones iniciales de esa partícula, en general puede terminar arbitrariamente lejos de su punto de partida. La pequeña variación$\delta z~=~(\delta q,~\delta p)$se amplifica por un mapa exponencial$\delta z~\rightarrow~exp(\lambda t)\delta z$, por$\lambda$el exponente de Lyapunov. Cualquier error en la especificación de las condiciones iniciales de un cuerpo resulta en la amplificación de este error. Desde una perspectiva algorítmica, un truncamiento da como resultado errores numéricos de desbordamiento que aumentan. Entonces, la dinámica de una partícula no puede integrarse por computadora con precisión arbitraria en el futuro, aunque la naturaleza realmente determina su dinámica.

W. Zurek llevó esto un poco más allá y consideró cómo las fluctuaciones cuánticas, donde$\delta z$se establece por el principio de incertidumbre de Heisenberg.

Creo que lo siguiente de la entrada de wikipedia aclara bien la terminología:

La teoría del caos es un campo de estudio de las matemáticas aplicadas, con aplicaciones en varias disciplinas, incluidas la física, la economía, la biología y la filosofía. La teoría del caos estudia el comportamiento de los sistemas dinámicos que son muy sensibles a las condiciones iniciales; un efecto que popularmente se conoce como el efecto mariposa. Las pequeñas diferencias en las condiciones iniciales (como las debidas a errores de redondeo en el cálculo numérico) producen resultados muy divergentes para los sistemas caóticos, lo que hace imposible la predicción a largo plazo en general. 1 Esto sucede a pesar de que estos sistemas son deterministas, lo que significa que su comportamiento futuro está totalmente determinado por sus condiciones iniciales, sin elementos aleatorios involucrados.[2] En otras palabras,la naturaleza determinista de estos sistemas no los hace predecibles. [3] Este comportamiento se conoce como caos determinista, o simplemente caos.

Negrita mía.

Tenga en cuenta que el caos da como resultado sistemas completamente deterministas cuando pequeños errores en las condiciones iniciales producen soluciones muy divergentes. Es el "exactamente" en su pregunta lo que es inalcanzable, que estará un poco fuera de lugar en situaciones caóticas (respuesta altamente no lineal a los parámetros de entrada) incluso en soluciones informáticas, porque uno no puede ser más preciso que los bits de la computadora.

Nótese también que esto no significa que no existan métodos matemáticos para estudiar el comportamiento de dichos sistemas. Los hay, y pueden ser predictivos a granel. Pondría como ejemplo el estudio de Tsonis et al que estudiaron el clima con un modelo caótico de red neuronal utilizando como entradas el comportamiento general de las corrientes atmosféricas y oceánicas.

Creo que hay cierto debate sobre esto, al menos según Steven Strogatz. Parafraseo una parte de su conferencia que estoy viendo: Incluso los sistemas con leyes perfectamente conocidas y perfectamente deterministas, donde se conocen todas las posiciones de todas las partículas y todas las fuerzas, pueden ser impredecibles. Son tales sistemas los que se llaman caóticos.

Esta es su visión al respecto. Desearía poder proporcionar un enlace al video, pero está en mi disco duro.

Creo que este es un debate importante, si todavía está en el aire, porque tiene muchas implicaciones para la noción de libre albedrío. Es una pregunta filosóficamente profunda.

Desde mi punto de vista, que es el de un profano, el punto de vista de Strogatz parece un poco difícil de imaginar, pero, de nuevo, él es el experto.

Me temo que su profesor está confundiendo determinismo y computabilidad. El comportamiento caótico es una propiedad de algunas soluciones de un sistema de EDO no lineal.

Sin embargo, cualquier ODE no lineal es estrictamente determinista; por ejemplo, si conoce el valor de X en el momento t0, la ODE le permite calcular X de forma determinista en el momento t0+dt con una precisión arbitraria. Es por eso que a menudo se habla de caos determinista.

Las dificultades comienzan cuando se quiere conocer X en un tiempo T que ya no es infinitesimalmente cercano a t0 o, en otras palabras, cuando se quiere integrar el sistema ODE para cualquier t. Esto solo es posible numéricamente para sistemas caóticos y es aquí donde entra en juego la propiedad de divergencia exponencial (sensibilidad a las condiciones iniciales). De hecho, el error cometido en el valor de las condiciones iniciales aumentará exponencialmente con el tiempo y le impedirá calcular con precisión el valor de la variable caótica para todos los tiempos. Pero esto es simplemente un problema de computabilidad, no un problema de determinismo.

Desde el punto de vista físico, el problema de la computabilidad nunca se resolverá debido a la relación de incertidumbre de Heisenberg que impone un valor distinto de cero para la incertidumbre de la medida de las condiciones iniciales. Si la incertidumbre es igual al valor mínimo permitido por QM, es fácil calcular para cualquier sistema caótico el tiempo más allá del cual la incertidumbre del valor de la variable dinámica será del mismo orden de magnitud que la propia variable dinámica. Más allá de este tiempo no se puede calcular ninguna variable caótica.

Por ejemplo, los parámetros orbitales de la Tierra, que son caóticos, no pueden conocerse más allá de unos 10 millones de años. Por supuesto, pero esta es otra cuestión, el desconocimiento de los parámetros orbitales no es sinónimo del desconocimiento de la órbita en sí, que puede ser pero no debe ser estable. En nuestro caso tuvimos suerte porque a pesar del caos en los parámetros orbitales de la Tierra, la órbita en sí ha sido estable o casi estable durante al menos 4 mil millones de años.

Como advertencia, se debe agregar que la divergencia exponencial de las órbitas es una condición necesaria pero no suficiente para que un sistema sea caótico. Por ejemplo, una variable Y = exp(t) tiene la propiedad de divergencia exponencial de trayectorias cercanas pero es computable con una precisión arbitraria y no es caótica.

nuestras condiciones iniciales exactamente

esto es posible en Mecánica Clásica, pero no es posible en Mecánica Cuántica. En Mecánica Cuántica, cuando el Operador Halmiltoniano tiene un espectro discreto, puede tener una dependencia sensible de la condición inicial en la Imagen de Heisenberg y no en la Imagen de Schroedinger. Esto crea problemas, pero es un problema de formalismo, porque la contrapartida cuántica de los sistemas caóticos clásicos es caótica según los hechos experimentales.

Lo más importante que aprender en Teoría del Caos es quizás la idea de que las ecuaciones deterministas conducen a dinámicas impredecibles. No siempre se trata de haber podido hacer las mediciones prácticamente precisas. La diferencia infinitesimal en las condiciones iniciales hace que la diferencia entre las rutas en el espacio de fase diverja exponencialmente (la jerga: el exponente de Lyapunov es el orden en que se separan). Y eso es lo que hace que sea una cuestión de ser impredecible incluso en teoría.